1. 서 론
심부 균열암반의 수리특성평가에 있어 가장 중요한 것은 현장 수리시험을 수행해 암반대수층의 수리전도도(Hydraulic Conductivity, K) 와 같은 대표적인 수리물성 값을 도출하는 것이다. 여러 현장 수리시험 방법 중에서 대수층의 수리특성을 넓게 반영할 수 있는 정압주입시험과 양수시험이 많이 활용된다. 정압주입시험(constant pressure injection test)은 시추공으로 일정 압력을 주입하여 시간에 따른 유량 변화를 측정하는 방식으로 수행되고, 양수시험(pumping test)은 일정 유량으로 시추공 내 물을 뽑아내어 암반 매질의 압력변화 시그널인 수위강하(drawdown)를 측정해 넓은 영역의 수리특성을 대표하는 수리상수를 획득한다. 이 수리시험들은 기본적으로 암반의 수리상수를 획득하기 위한 목적으로 수행이 되나, 그 외에도 암반대수층 형태나 균열들의 연결성과 같은 정보들도 제공할 수 있다. 정압주입시험이나 양수시험으로부터 획득한 유량 및 압력(수위강하) 변화 자료를 분석할 경우, 현장 자료 형태가 대부분 유사하고 시험 부지의 지질학적 배경 정보 등이 부족한 사례가 많기 때문에 실제 시험이 수행된 현장 조건을 가장 적합하게 반영하는 해석모델을 선정하는데 있어 어려움이 발생한다.
이러한 수리시험 자료 해석모델 최적 선정 문제를 보완하고자 해외 석유공학이나 방사성폐기물 관련 암반수리지질 분야에서, 유량 및 압력 변화 자료의 도함수(derivative)를 활용한 진단 분석 방안이 제시되어 다양한 수리시험 자료의 해석 정밀도 제고를 위해 적용되어 왔다(Bourdet et al., 1989, Spane and Wurstner, 1993, Beauheim et al., 2004, Enachescu and Rahm, 2007, Ludvigson et al., 2007, Renard et al., 2009, Follin et al., 2011, Hjerne et al., 2013). 도함수 진단 분석은 측정된 유량 또는 압력 변화 자료와 이를 미분한 도함수를 시간경과에 따라 로그-로그 스케일 그래프로 표현하고, 이 두 곡선을 다양한 수리시험 해석모델들의 표준곡선과 최적으로 매칭시켜 수리전도도를 구하는 방법이다. 이 분석법은 일반적인 유량과 압력 변화 곡선 자료에서 파악하기 힘든 미세한 변화량을 감지할 수 있기 때문에 적합한 수리시험 해석모델을 정확하고 신속하게 결정하는데 있어 효율적인 수단으로 활용할 수 있다. 보통 정압주입시험은 20~30분 정도 수행시간을 가지는 반면, 양수시험은 수 시간~수십 시간 지속되는 경우가 많다. 따라서 상대적으로 양수시험에서 도함수 곡선의 형태 변화가 민감하고 뚜렷하며, 결과적으로 정압주입시험에 비해 양수시험에서 도함수 분석의 적합성이 높게 나타나는 편이다. 최근 들어, Ferroud et al.(2018)은 도함수 진단 분석법 기반 순차 분석 접근을 통해 복잡한 균열암반 양수시험 자료에서 직선 구간을 특정하여 연속적이고 독립적인 흐름 체계로 해석하는 흐름 차원 분석을 수행하고 이를 데이터베이스화 하였다. Ishii(2018)는 심부 이암 대수층에 위치한 지하연구시설 내 단일 시추공에서 수행한 수리시험자료를 도함수 분석에 적용하여 균열의 수리적 연결성을 평가하였다. Yang et al.(2024)은 양수시험 수위강하와 지진계의 시계열 신호와의 상관관계를 평가하였고 이 과정에서 도함수 진단분석을 이용해 다른 두 물리자료의 흐름 차원 유사성을 특성화하였다. 이처럼 도함수 진단법은 여러 다양한 환경의 암반 현장의 수리시험자료 분석에 지속적으로 활용되면서 그 적용성과 타당성을 높이는 방향으로 발전되고 있다.
도함수 분석 적용을 통해 암반의 수리상수를 산출하는 연구는 주로 해외 기술선도국들을 통해 수행되고 발전되어 왔고, 국내에서는 정압주입시험 및 양수시험 자료에 이 방법을 활용해서 암반 대수층의 수리특성을 평가하는 연구들이 소수 진행되어 왔다(Kim et al., 2003, Hamm et al., 2005, Kim et al., 2010, Lee et al., 2024). 최근 정압주입시험 관련 수행된 연구의 경우, 심부 암반 시추공을 대상으로 연구가 진행된 바 있고 도함수 분석을 활용해 암반 수리전도도 도출의 신뢰도를 향상하고자 하였다. 양수시험의 경우, 현지 수위강하 자료에 도함수 분석을 적용하였으나 주로 심도 200 m 이내 천부 대수층 내 시추공을 대상으로 현장시험이 수행됐고 양수 지속 기간도 대부분 수 시간 이내에서 짧게 종료되었다.
본 보고에서는 현장 수리시험 수행을 통해 산출되는 현지 수리특성 정보의 신뢰도 제고 방안으로 도함수 진단 분석 방법의 개념과 실제 현장 적용 사례들을 검토하였다. 그 과정에서 도함수 분석 방법 적용 시 주의점과 효과적인 활용을 위해 필요한 배경 정보에 관하여 기술하였다. 아울러 도함수 분석의 가장 중요한 목적인 정확한 해석모델 설정을 통한 암반 수리상수 도출 이외에도, 시험 초반 수리반응이나 흐름 양상 전이 및 수리경계 특성에 관한 전반적인 이해에 관해서도 수록하였다.
2. 도함수 진단 분석 개념
정압주입시험이나 양수시험 시 획득하는 유량과 압력 변화 자료 내에는 본래 암반대수층 특성, 공내저류와 스킨효과 및 수리경계특성 등과 같은 다양한 수리반응이 포함되어 있다. 이와 같은 여러 수리반응에 따라서 그에 맞는 적합한 해석모델을 결정해야 하는데 기존 유량과 압력 변화 곡선 형태만으로는 다양한 수리특성들을 구분해내기 어렵다. 그러므로 최적의 해석모델 선정에 있어 오류들이 발생할 가능성이 있으며 결과적으로 수리시험 자료해석을 통해 도출한 수리상수들의 정확도 및 신뢰도가 낮아질 수 있다. 이러한 한계를 보완하기 위한 목적으로 도함수 분석 방법이 제안되었는데, 이는 현장 수리시험을 통해 측정된 시간에 따른 유량 또는 압력의 변화 자료를 1계 미분하여 순간적인 유량과 압력의 변화량(변화율)을 계산하고 로그-로그 그래프에 도식화함으로써, 미세하고 정밀한 유량 압력 변화 양상 파악이 가능하다. 양수시험의 경우 아래 식 (1)처럼 시간과 수위강하 자료에서 도출하고자 하는 지점의 전후 시간 시간의 수위를 이용하여 계산하게 된다(Bourdet et al., 1989).
위 식에서 ti, ti+j, ti-k는 각각 도출하고자 하는 도함수 시간, 보다 이후 시간, 보다 이전의 시간이고, ti, ti+j, ti-k는 각 시간대의 지하수위 값이다. 식 (1)에서 도함수는 시간의 자연로그에 대한 수위강하의 기울기로 나타난다. 이러한 도함수 분석을 이용해, 암반 대수층 수리특성과 시추공 인접 수리반응인 공내저류/스킨효과 및 시추공에서 멀리 떨어진 영역의 수리경계 특성까지 평가할 수 있다. 결과적으로 수리시험 초반부터 후반에 이르는 전체적인 지하수 흐름 양상과 변화를 명확하게 판단함으로써 해석모델 선택에 있어 혼동과 오류 문제를 최소화하는데 활용될 수 있다.
Fig. 1은 정압주입시험 수행 시 일반적인 암반 피압대수층에서 주로 발생하는 유량 변화 곡선과 그에 따른 도함수 곡선 형태를 개념적으로 나타낸다. Fig. 1(a)은 가장 이상적이고 기본적인 2차원 방사상 유동 양상을 나타내는 것인데, 적색 실선은 유량의 역수로 시간에 따라서 유량이 감소하다가 점차 감소율이 작아지고 이에 따라 녹색 실선으로 나타나는 유량의 변화율인 도함수 곡선이 증가하다가 점차 기울기가 0에 가까운 수평형태를 보인다. 초반에는 유량 감소폭이 크지만 후반부에 안정화됨에 따라 유량 감소폭이 거의 일정해지고, 시간이 경과해도 압력과 유량 변화가 일정한 상태가 된다. 도함수 곡선에서 기울기가 증가하여 위로 상승할수록 투수성이 낮아지고 수리연결성이 좋지 않은 것을 의미하며 반대로 기울기가 감소하여 아래로 하강하면 투수성이 높아지며 수리연결성이 좋아져 투수성이 큰 균열들과 교차 분포할 가능성이 높은 것을 뜻한다. 수평상태로 기울기가 0인 것은 암반 대수층의 투수성이 일정하게 유지되는 것을 의미한다.

Fig. 1.
Most typical diagnostic plots (log-log inverse flow rate and derivative plots) in constant pressure injection test (Enachescu and Rahm, 2007, Follin et al., 2011)
Fig. 1(b)은 Fig. 1(a)의 확장 개념으로 실제 자연 암반에서는 이상적인 2차원 방사상 흐름이 아닌 다양한 차원의 유동이 발생하는데 이에 관한 유량 및 도함수의 표준곡선을 나타내고 있다. Fig. 1(b)의 점선들이 도함수 곡선을 나타내는데 먼저 적색 점선은 1차원 선형 흐름(Pseudo-Liner Flow, PLF)으로 도함수 그래프 상 대략 0.5의 양(+)의 기울기를 가진다. PLF 흐름에서는 시추공에서 멀어질수록 투수성과 수리연결성의 감소가 발생한다. 녹색 점선은 2차원 방사상 흐름(Pseudo-Radial Flow, PRF)으로 자연 상태 대수층에서 가장 흔하게 존재하는 유동 양상이며, 도함수 그래프에서 기울기가 0인 수평선 형태로 나타나고 시추공에서부터의 거리가 멀어져도 투수성이 일정하게 유지되는 것을 의미한다. 청색 점선은 3차원 구상 흐름(Pseudo-Spherical Flow, PSF)이며 앞선 PLF 흐름과 반대로 도함수 그래프 상 대략 0.5의 음(-)의 기울기를 가진다. 이처럼 도함수 곡선이 음의 기울기를 가지면 해당 암반의 수리연결성이 좋고 투수성이 높은 균열들과 다수 교차 분포할 가능성이 높다. 또한 시추공으로부터 거리가 멀어짐에 따라 투수성이 오히려 점차 증가하는 흐름이 발생하게 된다. 이처럼 정압주입시험 시 1, 2, 3과 같이 정수차원으로 암반 지하수 흐름 양상을 표현할 수 있고, 각 정수차원 사이의 값을 가지는 경우에는 선형/방사상/구상 흐름들이 혼재되어 나타날 수 있다는 것을 의미한다.
Fig. 1(c) 는 Fig. 1(b)의 확장된 다양한 차원의 암반 지하수 흐름에서 원계 영역의 경계 특성이 추가 반영된 유량 및 도함수 표준곡선 개념도이다. 그림 상에 iz/mz/oz는 각각 inner zone/middle zone/outer zone을 의미하며, 수리시험 수행시간 경과와 더불어 시추공으로부터 멀어지는 거리에 따른 수리적 영역의 개념이다. 먼저 iz는 시험 초반 시추공 인접 영역의 수리반응을 의미하며, 주로 공내저류효과와 스킨효과로 대변된다. 이 두 효과와 연관된 iz의 수리반응은 시추공 내부와 바로 인접 영역에 국한된 국부적인 수리특성으로서 암반 대수층 본연의 수리특성을 나타내지는 않는다. 시험 시간이 경과되면서 mz에 이르게 되면 이 부분이 주로 시추공과 가까운 실제 암반의 수리특성을 반영한다고 할 수 있다. 마지막으로 시험이 장시간 지속되면 oz 부분에 다다르는데 이 구간에서는 시추공에서 먼 거리의 암반 대수층 수리특성을 반영함과 동시에 외부 대수층이나 다른 균열 네트워크와 연결된 수리경계가 나타나는 경우도 있다. Fig. 1(c) 에서 보이는 것처럼 oz 구간에서 앞선 mz 구간의 방사상 흐름(PRF)이 그대로 지속될 수도 있고 투수성과 수리연결성이 증가하여 도함수 곡선이 음으로 감소하는 형태인 구상 흐름(PSF)이 나타날 수도 있다. 또 다른 경우로 외부의 수리경계를 만나게 되면 도함수 그래프 상 최종 후반부에서 급격한 기울기 변화가 발생할 수 있는데, NFB는 No Flow Boundary의 약어로 물이 흐르지 않고 수리적으로 단절된 불투수성 경계를 의미하며, CHB는 Constant Head Boundary의 약어로 지속적으로 지하수가 잘 공급되고 양호한 수리연결성을 제공해주는 함양지역(고정수두경계)을 뜻한다. NFB의 경우에는 암반 내 균열이 투수성 지역과 단절되어 외부로부터 지하수를 지속적으로 공급받을 수 없다. CHB는 실제 자연 환경에서 투수성이 매우 높은 대규모의 단층이나 단열대, 강이나 하천 또는 바다와 같이 대량의 물을 계속해서 충분히 공급할 수 있는 수리적 저장소(reservoir)를 가리킨다.
이와 같이, 정압주입시험의 일반적인 유량 변화 자료 곡선에서는 지하 흐름 양상을 정확히 판별하기가 어렵지만 도함수 곡선에는 그 변화 정도가 크고 뚜렷하여 유동 형태와 그에 적합한 대수층 해석모델을 선정하는데 유리하다. 따라서 실제 정압주입시험에서 획득한 유량 자료와 도함수 곡선 형태를 분석하여 가장 근접한 해석모델을 결정하고, 최적 해석모델의 표준곡선과의 중첩(매칭)을 통해 암반 수리상수를 보다 정확하게 도출할 수 있다.
Fig. 2는 양수시험 수행 시 여러 암반 대수층의 특성 및 경계 조건에 따른 이상적인 압력 변화(=수위강하, 흑색 실선)와 도함수(흑색 점선) 형태를 개념적으로 나타낸 것이다. 전체적으로 보면 앞에서 설명한 정압주입시험의 도함수 곡선과 형태 및 원리가 유사하며, 단지 정압주입시험에서는 원 자료가 시간에 따른 유량 변화값인 반면 양수시험에서는 원 자료가 시간에 따른 압력 변화값이라는 차이가 있다. 서론에서도 잠시 언급하였지만 정압주입시험의 실제 수행 시간은 20~30분 정도로 짧고 길어도 수 시간 이내이기 때문에 Fig. 1(c) 기준으로 대부분 mz 구간이나 그 이전까지 곡선이 존재하는 경우가 많다. 이에 반해 양수시험은 실제 수행 시간이 수 시간~수십 시간이므로 상대적으로 시추공에서 멀리 떨어진 oz 구간의 수리반응까지 곡선 상에 표현된다. 따라서 양수시험에서 수리반응이 그래프에 다양한 형태의 곡선으로 표현되며 또한 도함수 곡선의 모양 변화가 더 뚜렷하고 민감하게 나타나는 경우가 많기 때문에 정압주입시험에 비해 도함수 진단 분석 방법의 활용도가 보다 높은 편이라고 할 수 있다.

Fig. 2.
Most typical diagnostic plots (log-log drawdown and derivative plots) in pumping test (Renard et al., 2009)
Fig. 2(a)는 일반적인 피압대수층 내 양수시험의 수위강하 및 도함수 변화를 나타낸다. 대표적인 특징은 초반에 도함수가 매우 빠르게 안정화되어 이후 방사상 유동을 지속해서 나타낸다는 점으로, 자연 암반 대수층 보다는 다공성 매질에서 많이 관찰된다. 암반에서는 시험 초반 시추공 주변부에서 공내저류효과나 스킨효과와 같은 수리적 교란반응이 발생하기 때문에, Fig. 2(a)처럼 바로 수위강하가 안정되어 도함수가 수평에 이르지 않고 일정 시간 지연 후에 본래 대수층의 수리특성이 나타난다. Fig. 2(b)는 이중 공극(이중 투수성)의 암반 대수층에서 발생하는 양수시험 수위강하 및 도함수 곡선을 보여준다. 이 경우의 특징은 수위강하 미분값인 도함수 곡선 내에서 뚜렷한 구멍(함몰) 형태가 나타나는 것이다. 시추공에 연결된 1차 암반을 통해 초반 지하수가 잘 공급되면서 수위하강이 천천히 진행되다가 1차 암반 대수층의 물 공급이 부족해지거나 고갈되면 다시 수위하강이 빠른 속도로 진행된다. 이후에 다른 공극(투수성)을 가지는 2차 대수층 영역을 만나게 되면 다시 시추공으로 지하수 공급이 원활해져서 수위하강이 느려지게 된다. 이와 같이 지하수 공급이 지연되는 유량 효과로 인하여 움푹 파여 있는 형태의 도함수 형태가 관찰될 수 있고, 이 같은 현상은 자연에서 카르스트 대수층 내 매트릭스 블록 배수나 비피압대수층에서 포화 영역 상부에 위치하는 불포화 영역 수직 배수 지연 시 주로 발생한다. Fig. 2(c)와 Fig. 2(d)는 각각 불투수성 경계와 고투수성 경계 영향이 반영된 암반 대수층의 수위강하와 도함수 곡선을 나타낸다. Fig. 2(e)는 누수대수층의 수위강하 및 도함수 곡선 변화 패턴으로 여러 대수층 해석모델 중에서 가장 빠르게 수위강하가 안정되면서 이에 따라 도함수 곡선도 초반에 급격히 감소하여 0의 값에 수렴하는 형태를 보인다. Fig. 2(f)는 피압대수층에서 양수시험 수행 시 초반 공내저류/스킨효과의 수리반응이 발생하고 이후 방사상 흐름으로 안정화되는 패턴을 나타낸다. 암반 대수층 양수시험에서 가장 빈번하게 관찰되는 수위강하 및 도함수 곡선 형태로서, 양수 시작 후 초반에 수위하강과 도함수 곡선이 거의 유사한 기울기(1:1)의 직선으로 상승하는 구간이 확인되는데 이 부분의 수리반응을 공내저류효과(wellbore storage effect)라 한다. 이는 양수 초반 지하수가 지상으로 빠르게 유출될 때 암반 대수층에서 시추공 내부로의 지하수 공급은 지상으로의 유출량과 속도에 비해 낮기 때문에 발생하는 현상이며, 수위하강이 시추공 내부에 존재하는 지하수의 유출을 통해서만 주로 발생하다보니 수위가 감소하는 속도가 매우 빠르게 된다. 이 때 도함수 곡선은 양의 기울기를 보이는 곡선 형태로 상승하게 되는데 이는 시추공의 수위하강 속도가 빠르다는 의미이며, 외부 암반 대수층에서 시추공 내부로의 지하수 유입이 원활하게 이뤄지지 않는다는 것을 의미한다. 공내저류효과 발생 구간 이후에 상승했던 도함수는 다시 아래로 하강하게 되는데, 이 시추공 근접 영역의 수리반응을 스킨효과(skin effect)라고 한다. 이는 음(-)의 스킨효과의 경우에는, 시추공 주변부 투수성이 지역적으로 증가하는 것을 의미하며, 시추공 굴착 시에 드릴 비트의 회전 및 굴진으로 인해 시추공 벽이 물리적으로 교란되면서 인위적으로 새로운 균열이 발생하거나 기존에 존재하던 균열이 확장되어 연결성이 증가되기 때문에 발생하는 현상이다. 반대로 양(+)의 스킨효과가 나타나는 경우는, 시추이수나 시추공 내 강한 난류흐름이 발생하여 투수성이 감소할 수 있다. Fig. 2(f)에서는 공내저류효과로 상승했던 도함수 곡선이 언덕형태의 정점을 도달하고 다시 하강하고 있고, 이러한 도함수의 기울기 감소는 국부적인 투수성 증가를 의미하므로, 이 경우 (-)스킨효과가 반영된 것으로 추정할 수 있다. 시험 초반부 공내저류 및 스킨효과가 발생하는 과도기 지점까지 지나고 나면 도함수 곡선이 수평 형태로 나타나게 되는 이 부분이 암반 대수층의 수리특성을 반영하는 구간이며 시간에 따른 수위강하 변화량이 일정한 방사상 흐름을 보여준다. Fig. 2(g)는 유한한 확장성을 가지지만 무한한 투수성을 지니는 수직 균열이 연결된 대수층 모델 사례를 나타낸다. 이 사례는 초기에 균열의 영향이 지배적이며 도함수와 수위강하 곡선 간의 거리 차이가 2배 정도의 일정한 배율로 유지되어 나타나는 특징을 보인다. 초반 이후 흐름 양상이 전환되면서 도함수가 수평 상태로 일정해지는 방사상 유동 흐름을 나타낸다. Fig. 2(h)와 Fig. 2(j)는 각각 유동 1차원 선형 흐름과 3차원 구상 흐름을 설명하고 있으며, 전자는 도함수가 양의 0.5기울기의 직선 형태로 표현되고 후자는 음의 0.5 기울기 직선 형태로 나타난다. Fig. 2(j)는 도함수 곡선 형태가 복합적으로 나타나는 경우를 보여준다. 초반에는 도함수가 1:1의 양의 직선 형태로 나타나며 공내저류효과를 보이다가 이후 도함수가 수평 형태인 방사상 흐름으로 전환된 뒤에, 최종적으로 고정수두경계를 만나서 도함수 곡선이 0의 값에 수렴하며 급격히 감소한다.
정리하자면 이러한 도함수 분석 방법의 적용을 통해 다양한 수리시험 해석모델 중에서 해당 유량 및 압력 변화 자료분석에 적합한 모델을 결정하는데 도움이 될 수 있다. 이 때 주의해야 할 점은 실제 수리시험에서 획득한 유량/압력 및 도함수 곡선 자료가 Fig. 1과 Fig. 2에 보이는 것처럼 완벽히 이상적이고 전형적인 형태로만 나타나지 않는 경우도 종종 존재한다는 것이다. 각 흐름 구간의 길이나 지속기간이 개념곡선과는 약간 다른 형태로 다양하게 나타날 수도 있고, 수리반응이 너무 짧은 경우에는 흐름 구간끼리 중첩 또는 생략되어 도함수 곡선 상에서 판별이 어려울 수도 있다. 또한 Fig. 2(j)에서 보이듯 서로 다른 도함수 곡선 형태가 합쳐져서 하나의 수리시험 기간 내에 복합적으로 나타나는 경우도 발생한다. 그러므로 분석한 도함수 곡선 형태가 확실히 구분되지 않아서 후보 해석모델이 유일하게 결정되지 못하고 두 개 이상으로 추려지는 경우에는, 현장 유량/압력 자료곡선과 각 해석모델 표준곡선의 사이 매칭적합도를 반영하는 잔차제곱합(RSS, residual sum of squares) 수치를 비교하는 동시에, 현장 암반 환경의 지질학적 정보를 검토하여 최적의 대수층 해석모델을 선정하는데 활용이 될 수 있다.
3. 도함수 진단 분석 적용 사례
3.1 정압주입시험
Fig. 3은 실제 정압주입시험으로 획득한 유량 변화 자료에 도함수 분석을 적용하여 최적의 해석모델을 선정하고, 이를 이용해 암반 대수층의 수리상수를 적합하게 도출한 사례들을 보여준다(Ludvigson et al., 2007). Fig. 3(a)은 정압주입시험에서 관찰되는 선형 흐름으로 이를 분석하기 위해 적합한 해석모델은 Barker(1988)법이 있다. 이 경우는 도함수의 양의 기울기가 1에 가까울 정도로 가파른 것으로 보아 1차원 선형 흐름보다 더 낮은 차원(n=0.3)의 흐름을 보이며, 시추공에서부터 멀어짐에 따라 암반 투수성이 크게 감소하고 수리연결성도 점차 낮아지는 것으로 판단할 수 있다. Fig. 3(b)은 정압주입시험에서 가장 일반적으로 관찰되는 2차원 방사상 흐름을 나타내며, Hurst-Clark-Brauer(1968) 모델이 자료해석에 적합하다. Fig. 3(c)은 3차원 구상 흐름의 경우이고, Hantush(1959)법이 최적 해석모델로 설정되었으며 도함수 곡선이 후반부에 음의 기울기로 하강하고 있는 형태를 나타낸다. Fig. 3(d)은 불투수성 경계인 NFB가 나타나는 흐름의 경우로 시험 중반까지 2차원 방사상 흐름을 보이다가 후반부에 수리적으로 막힌 불투수성 경계를 만나 도함수 곡선이 마지막에 급격하고 양의 기울기로 상승하였다. 이 경우에는 암반 대수층의 수리특성을 온전히 반영할 수 있는 중반부 방사상 흐름 구간에 Hurst-Clark-Brauer(1968) 모델의 표준곡선을 매칭하고 수리상수를 구하는 것이 바람직하다. 이런 자료에서 확인된 원계 영역의 불투수성 경계 특성은 해당 대수층의 부지모델 구성 시 수리경계 효과로 반영되어 지하수 흐름을 모사하는데 활용될 수 있다. Fig. 3(e)은 고투수성 경계인 CHB가 관찰되는 경우로 Fig. 3(d)과는 반대로 후반부에 도함수 곡선이 음의 기울기를 보이며 하강하다가 그 속도가 더 빨라지면서 0에 가까운 값으로 수렴한다. Fig. 3(c)과 같이 Hantush (1959)법이 최적 해석모델로 사용되었으며, 공통점은 Fig. 3(c)은 시간이 경과하면서 도함수가 감소하여 투수성과 수리연결성이 증가하는 부분이 존재하는 것이고, 차이점은 Fig. 3(e)에서만 대수층 원계 영역의 수리경계 특성이 나타난다는 것이다.

Fig. 3.
Case study on deriving hydraulic properties using derivative analysis of constant pressure injection test data in Forsmark site (Ludvigson et al., 2007)
도함수 진단 분석을 통해 스웨덴 지하연구시설에 위치한 심부 암반시추공의 수리특성인 수리전도도 를 산출하였다(Fig. 3). 이 지역은 견고한 결정질 암반으로서 일부 구간을 제외하고는 10-9 m/s 이하의 낮은 수리전도도를 보여, 전체적으로 낮은 투수도의 수리특성을 가진다. 가장 많이 분포하는 지하수 흐름 특성은 2차원 방사상 유동 패턴이고, 1차원 선형 유동과 3차원 구상 유동은 일부 구간에서 나타난다. 이 연구 지역처럼 낮은 투수 특성을 가지는 암반에서는 정압주입시험 수행 시 정압 유지가 어렵고 그에 따라 유량 변동이 큰 경우가 많으므로, 그만큼 더 정밀하고 상세한 자료분석이 필요하다. 따라서 진단분석을 통해 가장 적합한 해석모델을 결정하고 유량/도함수 곡선과 표준곡선의 매칭을 수행하는 것이 심부 균열암반 수리특성 산출의 정확도와 신뢰도 확보에 있어 매우 중요한 과정이라 할 수 있다.
앞선 Fig. 3에서는 암반 대수층에서 정압주입시험 시 발생한 다양한 유량 변화를 도함수 분석을 통해 적합한 해석모델을 찾고 그에 맞는 적절한 수리상수를 합리적으로 도출한 사례들을 살펴보았다. 다음 Figs. 4, 5, 6에서는 정압주입시험 획득 자료를 도함수 분석에 적용할 시 불확실성 요인들로 인해 불분명한 매칭 문제가 발생하는 사례들을 보여준다. 먼저 Fig. 4는 정압주입시험 시 계측된 유량 자료의 떨림이 심하게 발생하여 그에 따른 도함수 변동이 심하고 값의 분산도가 매우 높게 나타나는 경우이다(Enachescu and Rahm, 2007). 정압이 유지되는 동안 계측되는 유량의 노이즈가 매우 커서 그에 따라 도함수 분포도 너무 큰 범위로 흩어져 나타나기 때문에 표준곡선과 정확한 매칭을 위한 경향성을 찾기 어렵다. 이 경우 도함수 곡선은 제외한 상태로 오직 원시 유량 변화 곡선과 해석모델의 표준곡선과의 매칭 시도만을 통해 가장 적합도가 높은 케이스를 찾아야 하고, 따라서 유량과 도함수 곡선이 모두 표준곡선과 매칭되는 Fig. 3의 경우와는 다르게 도출되는 수리상수의 정확도와 신뢰도가 상대적으로 낮을 수 있다.

Fig. 4.
Case study on incomplete derivative matching due to irregular flow fluctuations and noise (Enachescu and Rham, 2007)
앞선 Fig. 4의 경우처럼 정압주입시험 수행 후 원시 유량 자료의 변동성과 노이즈가 심할 때, 도함수 그래프 스케일의 변환을 통해 매칭 적합도를 높일 수 있다(Hjerne et al., 2013). Fig. 5(a)에서 보이는 바와 같이 유량의 떨림이 심하게 되면 Fig. 5(b)의 로그-로그 스케일의 그래프상에서 도함수 곡선(흑색 십자가 모형)의 변동이 커 표준곡선과 정확한 매칭이 어렵지만 원시 유량 변화 곡선(청색 사각 모형)은 상대적으로 변동성이 작게 나타나 표준곡선과 정확한 매칭이 상대적으로 수월하다. 이 그래프를 Fig. 5(c)의 세미로그-로그 스케일로 변환하면 원시 유량 곡선의 변동성이 커지는 대신 도함수 곡선의 변동성이 작아진다. 이렇게 스케일이 변환되면 유량 곡선의 매칭은 어려울 수 있으나 도함수 곡선은 변동성이 줄어들고 경향성이 강화되어 표준곡선과 매칭이 잘 이뤄질 수 있다. 이렇게 두 가지 스케일 그래프에서 각각 유량 변화와 도함수를 표준곡선에 매칭하는 교차 분석을 통해 매칭의 적합도를 향상시키고 수리상수 산출의 정확도와 신뢰도를 보다 높일 수 있다.

Fig. 5.
Case study on improving matching accuracy through graph scale transformation in constant pressure injection test (Hjerne et al., 2013)
위의 Figs. 4, 5 사례를 통해 정압주입시험을 통해 계측된 유량의 불규칙한 변동성이 도함수 분석의 불확실성에 미치는 영향과 방안에 대해 살펴보았는데, 또 다른 주요한 불확실성 요인으로는 짧은 시험 수행 시간으로 인한 곡선 후반부에 매칭의 모호성을 들 수 있다(Follin et al., 2011). Fig. 6에서 보면 도함수 곡선이 후반부에 가면서 서서히 하강하는 형태를 보이는데, 이 때 하강하는 경향이 계속 이어지는 3차원 구상 흐름(Fig. 6a)이 발생할 수도 있고 또한 도함수가 하강하다가 급격히 0의 값으로 수렴하는 고정수두경계 특성 흐름(Fig. 6b)이 발생할 가능성도 있다. 일반적으로 정압주입시험의 수행 지속 시간이 20~30분 정도이고, 특별히 긴 경우라 하더라도 수 시간 이내에 대부분 시험이 종료된다. 따라서 시험 후반부 즉 시추공에서 멀리 떨어진 영역의 수리반응이 전체적으로 기록되지 않아 명확한 흐름 양상과 그에 따른 해석모델을 판별하기 어려운 경우가 있다. 이런 경우에는 시험이 수행되는 시추공 주변의 암반 대수층 환경에 관한 지질학적 배경 정보가 있다면 해석모델 선정에 도움이 될 수 있다. 예를 들어, 시험 시추공 가까운 곳에 대규모 고투수성 단층대나 강하천 또는 바다와 같이 지속적으로 물을 공급해줄 수 있는 함양수리경계가 존재하는 경우 고정수두경계 해석모델의 적합도가 높게 평가될 수 있다. Fig. 6처럼 유일한 최적 해석모델이 결정되지 않고 두 개 이상의 다양한 해석이 가능할 경우, 이러한 수리지질학적 배경 정보를 신중히 검토함과 동시에 측정자료와 표준곡선 사이의 물리적인 매칭적합도 수치인 잔차제곱합(RSS, residual sum of squares)의 비교분석도 수행하는 것이 바람직하다.

Fig. 6.
Case study on scenarios with multiple interpretations in constant pressure injection tests (Follin et al., 2011)
3.2 양수시험
양수시험은 일정한 유량으로 물을 배출하면서 압력(수위) 변화를 측정하고, 앞 장에서 설명한 정압주입시험은 일정한 압력으로 물을 주입하면서 유량 변화를 측정하는 방식으로 수행된다. 자료분석에 사용되는 물리량이 각각 유량과 압력으로 차이점이 있지만 결국 원시 자료의 변화와 그 변화율인 도함수를 표준곡선과 매칭시키는 원리는 동일하다. 따라서 양수시험에서 획득한 압력변화인 수위강하 자료와 그 도함수를 로그-로그 그래프에 표현하고, 그 형태에 맞는 적합한 해석모델을 선정하는 과정과 방식은 앞선 정압주입시험의 Fig. 3에서 소개한 사례와 같다고 볼 수 있다. 본 3.2절에서는 양수시험 자료의 도함수 분석 시 발생할 수 있는 문제점과 대응 방안에 관해 주로 기술하고자 한다.
먼저 Figs. 4, 5에서 나타난 정압주입시험의 유량 자료 노이즈로 인한 도함수의 불규칙한 변동 문제가 양수시험에서도 발생할 수 있다. Fig. 7은 양수시험 수행 시 압력(수위) 자료의 과도한 노이즈가 발생한 사례를 보여준다(Renard et al., 2009). Fig. 7(a)은 원시 데이터를 그대로 로그-로그 그래프에 표시한 것인데 이 경우 도함수의 흩어짐 정도가 매우 심하여 정확한 경향성을 파악하거나 표준곡선과 매칭하기가 쉽지 않다. Fig. 7(c)은 그래프의 스케일을 세미로그-로그로 변환한 경우이며 Fig. 7(a)에 비해 도함수 변동폭이 작아지고 경향성이 뚜렷해져서, 최종적으로는 0에 가까운 직선이 중심 부분이 되는 것을 확인할 수 있다. 도함수 분석 시 보다 적극적인 노이즈 최소화 방법도 제시되었는데, Fig. 7(b)에 보이는 것처럼 원시 데이터를 스무딩(smoothing)한 후 도함수를 계산하거나 계산된 도함수를 스무딩하는 접근이다(Bourdet et al., 1989, Spane and Wurstner, 1993, Veneruso and Spath, 2006). 이 접근법은 로그 스케일에서 고르게 간격을 둔 일정 수의 시간 간격으로 수위 자료 신호를 스플라인 보간 방식(spline interpolation)에 의해 다시 샘플링 하는 방식으로 진행된다. 그런 다음 이 재샘플링된 압력 신호에 대해 다시 도함수를 계산하여 그래프상에 표시한다. 그 결과물이 Fig. 7(b)에 나타나 있으며, 원래 곡선인 Fig. 7(a)에 비해 도함수 변화 형태와 경향성이 뚜렷해진 것을 확인할 수 있다. 이것을 또 세미로그로 스케일 변환하면 Fig. 7(d)과 같이 시험 종료 시점에 도함수가 0의 값에 수렴하는 것이 보다 명확하게 나타난다. 정리하자면, 맨 처음 수위강하와 도함수를 표시한 Fig. 7(a) 그래프를 봤을 때는 후기 시간대를 제외하고는 여러 양수시험 해석모델 중 Fig. 2(a)의 Theis(1935)에 해당한다고 우선적으로 판단할 수 있다. 그러나 원시 수위강하자료의 재샘플링을 통한 스무딩 방식과 세미로그 스케일 변환을 적용한 결과, 후기 도함수가 0에 가깝게 감소하는 것으로 나타났고, 이에 해당하는 해석모델은 누수대수층/고정수두경계/구상 흐름 모델로 판별할 수 있다. 정확한 모델 선택은 지질학적 또는 수리지질학적 배경 정보를 통합하여 이루어지는 것이 신뢰도를 높일 수 있으며, 실제 이 연구지역의 시추공은 인접 위치에 바다가 존재하고 있었고 따라서 고정수두경계를 최적 해석모델 후보로 선정하였다. 이 고정수두경계 모델을 양수자료에 적용하고 경계까지의 영향반경 거리를 개략적으로 계산한 결과, 시추공과 바다 사이 실제 거리와 거의 일치함을 확인하여 해석의 타당성을 입증하였다.
이처럼 도함수는 실제 현장 자료 측정 오류에 매우 민감하며, 해석에 혼란을 줄 수 있는 왜곡이 나타날 수도 있다. 우선적으로 양수시험을 통해 변동성이 적은 양질의 수위강하 데이터를 얻는 것이 가장 중요하고 전제조건이 되어야 하지만, 노이즈가 심한 양수시험자료를 분석해야 할 경우 이 영향을 최소화하기 위해 위에서 설명한 여러 접근법이 통합적으로 필요하다. 원시 수위강하 곡선과 도함수 곡선을 동시에 표준곡선과 잘 매칭시켜 분석해야 하며, 스케일을 변환하여 교차 평가하는 작업도 중요하다. 너무 작은 변동이나 노이즈의 존재보다는 전반적인 곡선의 주요 변화 경향에 집중해야 하며, 원시 자료의 스무딩과 같은 데이터 처리작업을 진행할 때는 재샘플링 간격을 너무 넓혀 과한 스무딩이 발생하는 등의 처리과정 상에 있어 왜곡 문제가 발생하지 않도록 주의해야 한다. 마지막으로 시험 현장의 수리지질학적 환경 조건에 대한 정보를 충분히 활용하여 이를 잘 반영할 수 있는 해석모델을 선택해야 한다.
양수시험에서 도함수 분석 시 발생할 수 있는 또 다른 불확실성은 역시 정압주입시험의 Fig. 6과 유사한 짧은 시험 기간으로 인한 곡선 후반부 표준곡선 매칭 식별의 어려움이다. Fig. 8(a)은 수위강하와 도함수 곡선이 시험 초반 시추공 부근 수리반응인 공내저류효과와 스킨효과에서 종료되면서 이후 실제 대수층에서 어떤 흐름 양상으로 전환이 될지 확인하지 못한 사례이다(Enachescu and Rham, 2007). 이러한 경우는 실제 양수시험 시간이 매우 짧거나 혹은 암반 대수층의 투수성이 너무 낮아 영향반경이 크게 퍼지지 못하고 수위하강이 제대로 발생하지 못할 때 발생할 수 있다. 이 경우 적합한 흐름 해석모델을 선정하는데 있어 주관이 많이 작용하며, 본질적으로 큰 불확실성을 내제하고 있어 온전히 높은 신뢰도의 수리상수를 도출하기는 어렵다. Fig. 8(b)은 Fig. 8(a)에 비해서는 도함수 곡선이 상대적으로 길게 나타나 있어 시험 중반부 정도의 지하수 흐름 및 대수층 특성은 파악할 수 있다. 그러나 이 역시 초반 수리반응을 지나 본래 암반 대수층의 수리특성인 방사상 흐름이 나타나고 얼마 지나지 않아 시험이 종료됨으로써 이후 흐름 양상의 변화를 판단하기 힘들다. 방사상 흐름이 그대로 유지될 수도 있고 투수성이 감소 또는 증가하여 도함수 기울기가 양이나 음으로 변할 수도 있으며, 불투수성 혹은 고투수성 수리경계를 만나 도함수 값이 후반부에 급격하게 바뀔 수도 있다. 그래도 Fig. 8(a)의 경우에 비해서는 매칭 불확실성이 낮은 편이며, 이 사례에서는 방사상 흐름이 그대로 유지된다는 가정 하에 Fig. 2(f)에 나타난 양수시험 해석모델을 자료분석에 사용하였다.

Fig. 8.
Case study on uncertain flow model identification due to short duration of pumping test (Enachescu and Rham, 2007)
Fig. 8의 케이스에서 살펴보듯이 양수시험 시간이 짧아 수위강하 및 도함수 곡선이 충분히 발달하지 않게 되면 적정 해석모델 선정과 표준곡선 매칭이 매우 어렵다. 뒷부분 곡선의 진행을 여러 가정을 통해 추정할 수밖에 없기 때문에 데이터 처리나 수치 시뮬레이션과 같은 보조적인 접근도 큰 불확실성을 내포하게 된다. 원칙적으로 해당 구간 재시험을 통해 충분히 전개된 수위강하와 도함수 자료를 획득하는 것이 가장 바람직하며, 해당 구간에서 양수 종료 후 수위 회복을 측정한 자료가 있을 경우에는 회복시험 결과와의 비교검토를 통해 수리상수 도출의 불확실성을 낮출 수 있다.
마지막으로 양수시험에서 도함수 분석 시 발생할 수 있는 불확실성 요인은 일정하지 않은 양수율(시간에 따른 양수량)로 인한 수위강하 자료와 도함수 곡선의 왜곡 문제이다. 양수시험을 통한 수리상수 산출 시 가장 기본적인 전제조건이 양수율을 일정하게 지속적으로 유지하면서 그에 따라 변화하는 수위강하 자료를 취득하는 것이다. 그러나 현실적으로 양수시험 수행 시 고성능의 유량조절장치가 온전하게 사용되지 않는 경우라면, 펌핑 속도가 일정하지 않고 가변적으로 이뤄질 수 있다. Fig. 9는 일정하지 않은 가변적인 양수율로 인해 수위강하 패턴이 불규칙하여 도함수 분석이 어려운 시험 수행 결과와, 이를 복원(deconvolution)기법에 적용해 불확실성을 저감한 사례를 보여준다(Renard et al., 2009). 만약 양수 유량 변화, 즉 펌핑 속도 변화가 일정한 단계로 이루어진 경우, Birsoy and Summers(1980)가 제안한 복원 알고리즘 기법을 활용할 수 있다(Birsoy and Summers, 1980). 이 기법은 가변 유량 시험 데이터에서 중첩(superposition) 원리를 이용하여 가변 유량 시험 데이터를 기반으로 펌핑 속도가 일정하게 유지되었다고 가정하여 대수층의 이론적 수리반응을 도출하는 방식이며, 각 데이터 포인트에 대해 등가 시간(equivalent time)과 특정 수위강하(specific drawdown) 값을 계산하여 다양한 유량 조건에서 복합한 반응을 단순화하는 형태로 수행된다. 복원 결과, 가변적인 양수율로 인해 중간에 데이터가 소실된 것처럼 점프하는 형태의 불규칙한 수위강하 곡선(Fig. 9a)이 연속적인 수위변화 곡선으로 나타났으며 도함수 곡선도 경향성을 보이며 표준곡선에 잘 매칭되었다(Fig. 9b). 복원된 양수자료는 Fig. 2(b)에 제시된 이중 공극(이중 투수성) 해석모델로 판별되었다.

Fig. 9.
Case study on deconvolution of analytical uncertainty due to variable flow rate of pumping test (Renard et al., 2009)
본 Fig. 9의 사례는 양수율(펌핑 속도)이 일정하지 않은 경우에도 복원기법을 통해 도함수 분석을 활용한 표준곡선 매칭을 사용할 수 있음을 보여준다. 그러나 이 역시 양수율이나 수위의 변화가 너무 크게 발생하는 경우에는 효과적으로 작용하지 않을 수 있다. 또한 펌핑 속도의 변화 정도에 관한 정보를 정확히 알고 있어야 하는 한계점이 있으며, 이는 실제 현장 시험에서 확보하기 어려운 부분이 있다.
4. 결론 및 제언
심부 현지 수리상수는 지하 암반의 수리특성, 즉 지하수 흐름을 예측하는데 있어 가장 기본적인 정보이며, 다양한 지하연구시설의 설계운영에 있어 필수 요소에 해당한다. 본 보고에서는 현지 수리상수 도출결과의 신뢰도 향상을 위해, 수리시험 자료해석에 적용할 도함수 진단 분석 방법의 개념과 실제 연구사례에 관해 종합적으로 검토하였다.
검토 결과, 수리시험 수행 시 계측되는 원시 자료의 미분값인 도함수 분석을 통해, 각 시험 구간에 적합한 수리해석모델을 보다 민감하게 구분하고 선정할 수 있다. 또한 기존 유량/압력 변화 곡선에서는 확인하기 어려운 시험 초반 수리반응과 이후 흐름 양상의 전환 및 원계 영역의 수리경계 특성 파악이 가능하여, 해당 암반 대수층의 전반적인 지하수 흐름 체계에 관한 이해도를 높이는데 활용이 될 수 있다. 다만 수리시험을 통해 측정된 자료의 노이즈로 인한 불규칙한 변동성과 짧은 시험 지속 기간으로 인한 진단 곡선의 충분하지 못한 전개와 같은 문제는 도함수 분석의 정확도를 낮추는 불확실성 요인으로 작용한다.
국내에서도 정압주입시험과 양수시험이 일부 현장에서 수행되고 있으나, 도출되는 수리상수의 정확도와 신뢰도를 향상시키기 위한 연구는 미흡한 실정이다. 특히 최근 들어 진행되는 사용후핵연료 처분장의 건설을 위한 부지특성조사 분야 등에서 수리적 안전성 평가 및 확보와 관련하여, 정확한 현지 암반 수리상수의 산출 여부는 그 중요성이 더욱 강조되고 있다. 향후 국내의 여러 암반 환경에서 정밀한 수리시험을 수행하고 각 현장 수리시험 자료에 적합한 해석모델을 검토하는 과정을 통해, 도함수 분석 방법의 적용성 및 타당성을 지속적으로 확보할 필요가 있을 것으로 사료된다.