A Review of the Barcelona Expansive Model (BExM) and its Application for Numerical Simulation of the Mechanical Behavior of Highly Expansive Unsaturated Soils

Changsoo Lee; Jinwoo Kim; Jin-Seop Kim

doi:10.7474/TUS.2025.35.4.347

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Technical Note

Tunnel and Underground Space. 31 August 2025. 347-362
https://doi.org/10.7474/TUS.2025.35.4.347

A Review of the Barcelona Expansive Model (BExM) and its Application for Numerical Simulation of the Mechanical Behavior of Highly Expansive Unsaturated Soils

팽윤성이 큰 불포화토의 역학적 거동 수치해석을 위한 Barcelona Expansive Model (BExM) 및 적용 사례 소개

Changsoo Lee¹

Jinwoo Kim²^*

Jin-Seop Kim¹

이 창수¹

김 진우²^*

김 진섭¹

¹Principal Researcher, Korea Atomic Energy Research Institute (KAERI)

²Postdoctoral Researcher, Korea Atomic Energy Research Institute (KAERI)

¹한국원자력연구원 책임연구원

²한국원자력연구원 박사후연구원

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

The mechanical behavior of compacted bentonite with high swelling potential is a key factor in the design of repositories for high-level radioactive waste disposal, particularly in the design of engineered barriers system (EBS). In this context, predicting and evaluating the long-term performance of EBS by numerical analysis requires an appropriate constitutive model. The Barcelona Basic Model (BBM), which is suitable for simulating the mechanical behavior of unsaturated soils with slightly or moderate swelling characteristics, is widely used for this purpose. However, the BBM has limitations in representing some important phenomena observed in highly expansive unsaturated soils. To overcome these limitations, the Barcelona Expansive Model (BExM) was proposed to model highly expansive soils such as clays and bentonites as two distinct levels: micro- and macro-structure. In this technical note, the basic concepts of the BExM and the mathematical formulas used to simulate mechanical behavior are first summarized, followed by two examples: strain accumulation due to drying-wetting cycles and controlled-suction oedometer tests. The BExM introduced in this report can be adopted as a constitutive numerical model to simulate the coupled thermo-hydro-mechanical (THM) behavior of compacted bentonite buffer blocks and backfill materials. It is anticipated that the examples described in this report can be used for verification of BExM module in TOUGH2-MP/FLAC3D.

Keywords

Swelling

Unsaturated soil

Barcelona Expansive Model

Microstructural and macrostructural behaviour

팽윤 특성이 큰 압축 벤토나이트의 역학적 거동은 고준위방사성폐기물 처분장 설계, 특히 공학적방벽 설계에 있어 주요한 인자이다. 따라서 공학적방벽시스템 장기적 성능 예측 및 평가를 위한 수치해석을 수행하기 위해서는 적절한 역학적 구성모델이 필수적이다. 이러한 이유로 약간(slightly) 또는 보통(moderately)의 팽윤 특성을 갖는 불포화토의 역학적인 거동에 적합한 Barcelona Basic Model (BBM)이 많이 활용되고 있다. 하지만, BBM은 더 큰 팽윤 특성을 가지는 불포화토의 일부 현상에 대한 수치해석에는 한계점을 보이고 있다. BBM이 가지는 한계점을 극복하고자 점토와 벤토나이트와 같이 큰 팽윤 특성을 지니는 매질을 이중 구조로 고려하여 좀 더 나은 Barcelona Expansive Model (BExM)이 제안되었다. 본 기술보고에서는 BExM의 기본 개념과 BExM에서 복합거동을 모사하기 위해 사용된 수식들을 먼저 정리하였으며, 그 다음으로 반복된 건조-포화과정에 따른 변형률 변화 및 흡입력 제어 압밀시험 등에 대한 적용 사례를 정리하여 기술하였다. 본 기술보고에서 살펴본 BExM은 향후 공학적방벽재인 벤토나이트 완충재와 뒤채움재에서의 열-수리-역학(thermo-hydro-mechanical; THM) 복합거동 특성 평가모델로 활용될 수 있을 것이다. 또한, 본 기술보고에 기술된 예제는 향후 개발될 TOUGH2-MP/FLAC3D 시뮬레이터의 BExM 해석모듈 검증자료로 활용될 수 있을 것으로 기대된다.

키워드

팽윤

불포화토

Barcelona Expansive Model

미시 및 거시구조의 거동

MAIN

기 호
1. 서 론
2. 미시 및 거시구조에서의 거동
3. 미시구조와 거시구조의 상호작용
4. BExM 수식 및 모델 성능
4.1 제1절 수식
4.2 제2절 모델 성능 및 적용 사례
5. 결 론

기 호

$e_{m}$ 미시구조의 간극비(microstructural void ratio)

$e_{M}$ 거시구조의 간극비(macrostructural void ratio)

$f_{D}$ , $f_{I}$ 흡입력 감소 및 증가에 대한 연동함수(coupling function for suction decrease/increase)

$G$ 전단변형계수(shear modulus)

$k_{s}$ 흡입력 변화에 따른 점착력 변화를 나타내는 변수(parameter describing the increase in cohesion with suction)

$K_{m}$ 미시구조의 체적변형계수(microstructural bulk modulus)

$K_{M}$ 평균응력 변화에 대한 거시구조의 체적변형계수(macrostructural bulk modulus for changes in mean stress)

$K_{s}$ 흡입력 변화에 대한 거시구조의 체적변형계수(macrostructural bulk modulus for changes in suction)

$M$ 한계상태선의 기울기(slope of the critical state line)

$p$ 전응력(total stress)

$p_{0}$ 불포화상태의 선행압밀응력(preconsolidation stress for unsaturated conditions)

$p_{0}^{*}$ 포화상태의 선행압밀응력(preconsolidation stress for saturated conditions)

$\hat{p}$ 유효평균응력(mean effective stress)

$p^{c}$ 기준응력(reference stress)

$s$ 흡입력(suction)

$s_{i}$ , $s_{o}$ 경화 파라미터(hardening parameters)

$S_{r}$ 포화도(degree of saturation)

$q$ 편차응력(deviatoric stress)

$r$ , 𝛽 $λ (s)$ 와 관련된 파라미터(parameter for $λ (s)$ )

$α_{m}$ , $β_{m}$ $K_{m}$ 와 관련된 파라미터(parameters for $K_{m}$ )

$ε_{v m}^{e}$ 미시구조에서의 체적 탄성 변형률(volumetric microstructural elastic strain)

$ε_{v M}^{e}$ 거시구조에서의 체적 탄성 변형률(volumetric macrostructural elastic strain)

$ε_{v M}^{p}$ 거시구조에서의 체적 소성 변형률(volumetric macrostructural plastic strain)

𝜂 응력비(stress ratio)

𝜅 거시구조에서의 과압밀 압축지수(macrostructural elastic compression index)

$κ_{m}$ 미시구조에서의 과압밀 압축지수(microstructural elastic compression index)

$κ_{s}$ 수리적 팽윤지수(elastic swelling index for changes in suction)

$λ (s)$ 흡입력 $s$ 에서의 정규압밀선의 기울기(slope of the normal compression line at suction $s$ )

$λ (0)$ 포화 상태에서의 정규압밀선의 기울기(slope of the normal compression line in saturated conditions)

$v$ 포아송비(Poisson’s ratio)

1. 서 론

팽윤 특성이 큰 압밀 점토의 역학적 거동은 고준위방사성폐기물 처분장 설계, 특히 공학적방벽 설계에 있어 주요한 인자이기 때문에 공학적방벽시스템 설계를 위한 수치해석을 수행하기 위해서는 적절한 구성모델(constitutive model)이 필요하다. 이에, Alonso et al.(1987)과 Alonso et al.(1990)는 약간(slightly) 또는 보통(moderately)의 팽윤 특성을 갖는 불포화토에 대한 역학적인 거동을 모사하기 위해 Barcelona Basic Model (BBM)을 제안하였다. BBM은 Modified Cam-Clay Model (Roscoe and Burland, 1968)을 확장하여 만든 탄소성 모델로써, 전응력(total stress, $p$ )과 흡입력(suction, $s$ )을 모두 고려한 불포화토에 대한 역학모델이다. BBM의 중요한 특징은 흡입력의 영향을 받아 불포화 상태의 선행압밀응력(presoncolidation stress for unsaturated conditions, $p_{0}$ ), 포화 상태의 선행압밀응력(preconsolidation stress for satruated conditions, $p_{0}^{*}$ ), 흡입력 증가에 따른 점착력 변화를 나타내는 변수(parameter describing the increase in cohesion with suction, $k_{s}$ ), 한계상태선의 기울기(slope of the critical state line, $M$ )로 표현된 항복영역(yield locus)이 형성되어 $p$ - $q$ - $s$ (total stress-deviatoric stress-suction) 평면에 3차원적인 항복면(yield surface)이 존재한다는 것이다(Fig. 1). BBM은 재하(loading)와 제하(unloading) 그리고 습윤(wetting) 및 건조(drying) 과정에서 불포화토에서 일어날 수 있는 다음과 같은 대부분의 거동을 모사할 수 있다는 특징이 있다.

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Fig. 1.

BBM yield locus in p-q-s plane (adapted from Alonso et al., 1999)

•흡입력 증가에 따른 전단강도(shear strength) 및 선행압밀응력(preconsolidation pressure, $p_{0}^{*}$ ) 증가

•낮은 구속압에서의 흡입력 감소에 따른 가역적인 팽윤 변형률(reversible swelling strains)

•높은 구속압에서의 흡입력 감소에 따른 비가역적인 붕괴 변형률(irreversible collapse strains)

•임계 흡입력(suction increase, SI) 이상으로의 흡입력 증가에 따른 비가역적인 수축 변형률(irreversible shrinkage)

또한, BBM에서는 공학적방벽재의 수화과정(hydration)동안 발생한 응력-변형률 경로 변화, 예를 들면 일정 부피 조건하에서 수행된 팽윤시험(Romero, 1999)에서 관찰된 최대 팽윤압 이후의 팽윤압 감소 현상을 소성화(plastification)로 설명할 수 있다. 하지만, BBM은 더 큰 팽윤 특성을 가지는 불포화토의 일부 현상에 대해서는 모델링을 수행하는데 한계점을 보이고 있다. 예를들면, 주로 점토와 벤토나이트의 미세구조 레벨(microstructural level)과 거시구조 레벨(macrostructural level) 사이에서의 화학-수리-역학적 복합거동 현상과 관련된 것으로 초기 상태(Brackley, 1973)와 응력경로(stress path; Justo et al., 1984)에 대한 팽윤 변형률 및 팽윤압의 의존성, 반복적인 포화-건조에 따른 누적 변형률 발생(Pousada, 1984, Dif and Bluemel, 1991), 그리고 2차 팽윤(Komornik and Zeitlen, 1965)과 같은 현상들을 BBM으로 모사하기 힘들다. 이에 Alonso et al.(1999)은 점토와 벤토나이트와 같이 큰 팽윤 특성을 지니는 매질의 이중 구조(two levels of structure)를 고려하여 좀 더 나은 Barcelona Expansive Model (BExM)을 개발했다. 본 기술보고에서는 Alonso et al.(1999)에 기술되어 있는 BExM의 기본 개념과 BExM에서 복합거동을 모사하기 위해 사용된 수식들을 먼저 정리하였으며, 그 다음으로 BExM을 불포화토에 대한 하중 및 흡입력 변화와 반복된 포화-건조과정에 따른 복합거동 변화 및 고준위방사성폐기물 처분장 내 공학적방벽시스템 해석에 적용한 사례를 정리하여 기술하였다.

2. 미시 및 거시구조에서의 거동

BExM은 Gens and Alonso(1992)에서 설명하고 있는 이중 구조(two levels of structure)를 기반으로 팽윤성이 큰 불포화토에 대한 역학모델로 제안된 모델이다. BExM에서는 BBM과는 달리 팽창성 광물(active mineral)에서 팽윤이 일어나는 미시구조 레벨과 거시적 구조의 재배열이 일어나는 거시구조 레벨을 기반으로 팽윤을 설명하며, 다음과 같은 가정을 전제로 하고 있다.

•미시구조는 대개 포화상태이며, 유효응력 개념으로 설명 가능함.

•미시구조의 거동은 탄성적이며 체적 변형이 일어나는 것으로 가정함.

•미시구조와 거시구조 사이에서는 역학적, 수리적, 그리고 화학적인 평형상태를 유지함.

•미시구조에서 변형률(volumetric microstructural strain)이 발생하면 미시구조와 거시구조의 상호작용으로 인해 거시구조에서는 탄소성 변형률이 발생할 수 있음.

이러한 가정을 토대로 체적 미시구조 변형률의 증분( $d ε_{V m}^{e}$ )은 미시구조에서의 유효 평균 응력( $\hat{p}$ )의 변화( $d \hat{p} = d (\bar{p} - p_{l}) = d (\bar{p} - p_{q} + p_{q} - p_{l}) = d (p + s)$ )에 의해 계산된다. 따라서, 현재의 응력과 흡입력 상태로부터 미시변형률이 발생하지 않는 $p + s = c o n s t a n t$ 의 사선인 중립선(neutral line, NL)을 그릴 수 있게 된다. Fig. 2에서 응력 증가는 공극의 감소를, 공극 감소는 포화도 증가 즉, 흡입력 감소를 유발하게 된다. 반대로 응력 감소는 공극의 증가를, 공극 증가는 포화도 감소 즉, 흡입력 증가를 유발하게 된다. 중립선은 C와 함께 움직이며, 매 순간 미시구조적 팽윤과 수축 영역을 구분 짓는 기준이 된다(Fig. 2). 하지만, 재료의 미세구조 팽창 유형에 따라 중립선은 45°와는 다를 수도 있다(Gens and Alonso, 1992).

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Fig. 2.

Schematic representation of the dual-structure model in the isotropic plane, including the neutral line (NL) and the loading-collapse (LC) yield surface (adapted from Gens and Alonso, 1992)

미시구조에서의 팽윤은 비가역적인 간극비(e)의 증가를 야기하는 거시구조의 구조적 배열에 영향을 미치게 되지만, 미시구조에서의 수축은 반대로 비가역적인 거시구조에서의 간극비 감소를 야기한다. BExM에서는 이러한 현상을 모사하기 위해 중립선과 평행한 두 개의 추가적인 항복면, 흡입력 증가(suction increase, SI)와 흡입력 감소(suction decrease, SD) 선을 추가하였다(Fig. 2). 흡입력 증가(SI)와 흡입력 감소(SD)선은 각각 미시구조에서의 수축과 팽창에 의한 거시구조의 체적 소성 변형의 시작을 정의한다. 흡입력과 응력이 NL에 도달하면, SI와 SD는 미시구조의 탄성영역을 형성하고 흡입력과 응력 수준에 따라 미시구조에서의 변형률이 발생할 수 있다.

선행연구에서 수행된 실험데이터를 기반으로 볼 때, 거시구조의 소성 변형은 미시구조의 변형뿐만 아니라, 응력수준(Justo et al., 1984)과 거시구조의 압밀 정도에 따라(Lee et al., 2019) 영향을 받는 것으로 보고되었기 때문에, Alonso et al.(1994)은 미시구조에서의 수축과 팽창에 의한 거시구조에서의 체적 소성 변형률(volumetric macrostructural plastic strain)의 증분을 다음과 같이 제안하였다.

미시구조의 팽윤(microstructural swelling)이 발생하는 경우(SD),

(1)

d ε_{v M}^{p} = f_{D} d ε_{v m}^{e}

미시구조의 수축(microstructural shrinkage)이 발생하는 경우(SI),

(2)

d ε_{v M}^{p} = f_{I} d ε_{v m}^{e}

여기서, $ε_{v M}^{p}$ 는 거시구조에서의 체적 소성 변형률(volumetric macrostructural plastic strain), $ε_{v m}^{e}$ 는 미시구조에서의 체적 탄성 변형률(volumetric microstructural elastic strain), $f_{D}$ 와 $f_{I}$ 는 등방압 상태(isotropic state of stress)하에서 $p / p_{0}$ 에 의존하는 연동 함수(coupling function)이고, 불포화토에서의 $p / p_{0}$ 는 현재 응력수준(C)에서 거시구조의 항복면 LC까지 거리를 의미하며 포화상태의 등방압밀 상태에서 매질의 과압밀비(overconsolidation ratio)를 의미한다. 이때 아래첨자 _M과 _m은 각각 거시구조와 미시구조를 나타낸다.

거시구조적 소성 체적 변형률은 BBM에서와 마찬가지로 항복면 LC의 위치를 변화시키게 되는데, 거시구조가 성글게 변화하게 되는 경우(수축에 의한 소성 체적변화 발생, 즉 간극비 증가) 거시구조의 LC는 수축하며, 거시구조가 조밀해지는 경우(팽윤에 의한 소성 체적변화 발생, 즉 간극비 감소) 탄성영역은 증가하고 LC는 확장하게 된다. 다시말해, BExM에서는 BBM에서처럼 응력과 흡입력의 변화에 따른 거시구조의 LC 변화뿐만 아니라, 미시구조에서의 수축과 팽창에 의한 거시구조의 체적 소성 변형률으로 인해 LC가 변화할 수 있다.

3. 미시구조와 거시구조의 상호작용

Pousada(1984)은 팽윤성이 있는 스페인 마드리드의 점토(액성한계( $w_{L}$ ) 70%, 소성한계( $w_{P}$ ) 30%, 최적함수비( $w_{o p t}$ ) 33%, 그리고 건조단위중량( $γ_{D}$ ) 13.4 kN/m³)에 대해 다양한 상재 하중조건에서 흡입력을 제어하면서 반복적인 압밀시험(cyclic suction- controlled oedometer tests)을 수행하였다. 수행된 전체 데이터를 살펴보면, 같은 압밀 이력을 갖는 시편의 경우, 가해진 수직 응력이 증가할수록 거시구조적 소성변형률은 감소하는 것으로 나타났다. 이는 미시구조적 팽윤은 성긴 거시구조 보다 조밀한 거시구조에 덜 영향을 미친다는 의미이다. 결과적으로 $f_{D}$ 는 $p / p_{0}$ 가 증가함에 따라 감소하는 반면, $f_{I}$ 는 $p / p_{0}$ 가 증가함에 따라 증가하는 것을 의미한다(Fig. 3).

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Fig. 3.

Typical shape of coupling functions $f_{I}$ and $f_{D}$ (adapted from Alonso et al., 1999)

Pousada(1984)에서 보고된 실험 결과 중, 수직 하중이 0.1 MPa인 조건에서 흡입력이 변화함에 따라 첫 번째 사이클의 건조 과정에서 비가역적인 수직 방향의 압축변형률이 발생했으며, 이후 첫 번째 포화과정에서 추가적으로 비가역적인 팽윤 변형률이 발생하였으며, 건조와 포화과정을 반복할수록 누적되는 변형률은 점차 감소하면서 최종적으로는 팽윤에 의한 변형률이 1.3 %로 측정되었다. 반면, Dif and Bluemel(1991)은 Hoheneggelsen 점토(액성한계( $w_{L}$ ) 44-55%, 소성한계( $w_{P}$ ) 15-21%, 최적함수비( $w_{o p t}$ ) 16.6%, 그리고 건조단위중량( $w_{o p t}$ ) 16.7 kN/m³)에 대한 결과를 보고하였는데, 200 kPa의 수직응력하에서 점토 샘플의 흡입력을 변화시킬 때, 전반적으로 수축이 발생하는 것으로 나타났다. 이러한 결과는 SI와 SD가 교대로 활성화되면서 시험이 반복되는 동안 발생하는 거시구조적 소성 변형률의 양은 응력의 수준과 수화 이력(history of hydration)에 영향을 받는다는 것을 의미한다. 또한, 건조-포화 과정을 많이 반복하는 경우, 발생하는 변형률은 특정 값으로 수렴하는 경향을 보였다.

두 시험에서 나타난 이러한 현상은 앞에서 언급한 연동 함수( $f_{I}$ , $f_{D}$ )로 잘 설명할 수 있다. 만일, Fig. 3의 A지점과 같이 낮은 응력수준에서 수화와 건조과정이 일정하게 반복되었다고 가정하면, A가 E보다 왼쪽에 위치하기 때문에 팽윤에 의한 소성 변형률(흡입력의 감소와 $f_{D}$ 에 의한 변형률)이 건조에 의한 소성변형률(흡입력의 감소와 $f_{I}$ 에 의한 변형률)보다 우세하게 작용하게 된다. 결과적으로 전체 체적은 증가하게 되고, LC는 수축되며 $p / p_{0}$ 는 증가하게 된다. 이후의 $p / p_{0}$ 의 증가에 따라 시작점은 Fig. 3의 B와 같이 변화되었을 것이고, 다시 한번 더 수화와 건조가 수행되다면, 첫 번째 변화보다는 작지만 부피의 증가가 일어나게 된다. 지속적으로 반복이 진행되면, LC는 $p / p_{0}$ 방향으로 이동하게 되고 $p / p_{0}$ 은 최종적으로 E지점으로 이동하게 될 것이다. E지점에서는 팽윤과 수축이 동일하기 때문에 지속적으로 소성변형률이 생기지만 전체적인 체적에는 변화가 없는 상태에 도달하게 된다. 반대로 수화와 건조 과정이 높은 응력수준에서 일정하게 반복되었다고 가정하면, 시험 시작점을 Fig. 3에 있는 C로 나타낼 수 있다. C에서 건조와 수화과정을 반복하게 되면, C가 E보다 오른쪽에 위치하고 있기 때문에 건조에 의한 소성 변형률이 팽윤에 의한 소성변형률보다 우세하게 작용하게 된다. 결과적으로 전체 체적은 감소하게 되고, LC는 팽창되며 $p / p_{0}$ 는 감소하게 된다. 이후의 시작점은 Fig. 3의 D와 같은 지점이 될 것이고 건조와 수화과정이 지속적으로 반복이 진행되면, $p / p_{0}$ 은 최종적으로 E지점으로 이동하게 될 것이다. E지점에서는 수축과 팽윤이 동일하기 때문에 지속적으로 소성변형률이 생기지만 앞의 경우와 마찬가지로 전체적인 체적에는 변화가 없는 상태에 도달하게 된다.

또한, 벤토나이트와 같이 팽윤성이 매우 큰 점토의 거시구조가 충분히 약한(soft) 경우, 미시구조의 팽윤은 거시구조의 공극률(marcoporosity)을 침범할 수도 있다(Komine and Ogata, 1994). 이러한 메카니즘에서는 팽윤으로 인해 미시구조의 간극비는 증가되지만, 거시구조의 간극비는 미시구조에 의한 침범(invasion)으로 인해 감소된다. 이 경우, 거시구조의 체적변형률과 미시구조의 체적변형률은 다음과 같이 정의된다.

(3)

d ε_{v M} = d e_{M} / (1 + e_{M})

(4)

d ε_{v m} = d e_{m} / (1 + e_{m})

여기서, $e_{M}$ 과 $e_{m}$ 은 각각 거시구조와 미시구조의 간극비이며, $d ε_{v M}$ 이 음수이고 $d ε_{v m}$ 이 양수일 때, 앞에서 언급한 바와 같이 거시구조의 공극이 침입을 받아 거시구조의 공극이 작아지게 된다. 팽윤성이 큰 점토의 경우, 대부분 거시구조의 변형률은 소성에 의한 것이기 때문에, 높은 $p / p_{0}$ 에서 $d ε_{v M}^{p} / d ε_{v m}^{p} = f_{D}$ 는 음수이다(Fig. 4).

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Fig. 4.

Summary of micro-macropore interaction mechanisms (adapted from Alonso et al., 1999)

문헌에 나타나 있는 실험데이터를 살펴보면, 팽윤과는 달리 강한 건조현상은 소성 지수의 감소(Mitchell, 1993) 및 팽윤압의 감소(Al-Homoud et al., 1995)와 수리전도도의 증가(Shear et al., 1992)를 보이는 것으로 나타났다. 비록 현재로서는 명확하게 결론을 내릴 수 없지만, 이러한 실험 결과는 건조 동안 거시구조의 공극률의 증가를 동반한 집합체(aggregate)의 형성과 일맥상통한다. 이러한 거시구조의 침범 메카니즘을 수식화하기 위해 거시구조의 공극률의 증가를 낮은 $p / p_{0}$ 에서 $f_{I}$ 를 음수로 반영하여 모델에 도입할 수 있다.

미시구조와 거시구조에서의 공극의 상호작용 메카니즘과 연동함수 $f_{I}$ 와 $f_{D}$ 를 이용한 설명은 Fig. 4로 정리할 수 있으며, 연동함수 $f_{I}$ 와 $f_{D}$ 를 이용한 간단한 수식화 작업을 통해 1)낮은 구속압에서의 반복된 건조-포화 과정 동안 매질의 팽창, 2)높은 구속압에서의 반복된 건조-포화 과정 동안 매질의 수축, 3)건조-포화 반복에 따른 부피변화 감쇠, 4)미시구조로부터의 거시구조의 공극 침입에 따른 공극변화, 5)강한 건조에 따른 거시구조의 공극증가와 같은 메카니즘은 설명될 수 있다.

4. BExM 수식 및 모델 성능

4.1 제1절 수식

1) 등방압력 상태

물론, 순간적인 수리-역학 복합거동에 초점을 두었을 경우, 집합체와 불포화토의 거시구조 사이에서의 압력과 농도(concentration) 구배로 인한 물과 이온의 교환율이 다른 것을 반영하기 위해 matric suction 그리고 osmotic suction이 미시구조와 거시구조에서 다르다는 것을 고려해야만 한다. 하지만, BExM에서는 모델의 단순화를 위해 국부적으로 미시구조와 거시구조에서 수리적 그리고 역학적인 평형상태를 가정하고, 유효응력과 거시구조의 공극에서의 존재하는 수분으로 정의되는 흡입력을 이용하여 역학적 거동을 계산한다. 광물학적 활성 토양(mineralogically active soil)에서 미시구조의 공극 크기는 일반적으로 점토임자 주변에 형셩되는 확산 이중층(diffuse double layer)의 두께 정도로 매우 작다. 이 확산 이중층은 점토 표면 전하와 주변 양이온 사이의 전기적 상호작용에 의해 형성되며, 그 내부는 물분자가 강하게 흡착되어 있는 상태로, 일바적으로 포화 상태가 유지된다. 반면, 미시구조와 거시구조가 공존하는 이중 공극(double porosity) 특성이 덜 두드러진 매질에서는 미시구조적 집합체(aggregates)는 불포화 상태로 존재할 수도 있다. 비교적 간단한 접근법을 유지하면서 일반적인 모델로 적용하려면, 불포화된 상태에서 일반화된 유효응력의 개념을 통해 미시구조의 거동을 공식화해야 한다. 이를 위해 미시구조에서의 유효 평균 응력(effective mean stress, $\hat{p}$ )은 다음과 같이 정의된다.

(5)

\hat{p} = p + S_{r}^{a} s

여기서, $S_{r}$ 은 포화도이며, 𝛼=0인 경우(미시구조가 포화된 상태), 포화 유효응력으로 표현되고, 𝛼=1인 경우 유효응력(미시구조가 불포화 상태)은 Bishop 유효응력(Bishop, 1959)과 유사하다. 응력 상태가 ${\hat{p}}_{i}$ 인 경우, NL의 식은 $\hat{p} = {\hat{p}}_{i}$ 이고, $p - s$ 의 기울기는 응력과 흡입력 상태, 𝛼, 그리고 수분흡입력곡선에 영향을 받는다.

미시구조에서의 체적 탄성 변형률은 모델로의 확장 형태에 따라 다르지만, 식 (6)으로 정의 되며, 거시구조에서의 체적 탄성 변형률은 BBM에서와 마찬가지로 평균 순응력(mean net stress)과 흡입력의 함수로 식 (7)과 같이 표현된다.

(6)

d ε_{v m}^{e} = \frac{d \hat{p}}{K_{m}} with K_{m} = \frac{e^{- α_{m} \hat{p}}}{β_{m}} or K_{m} = \frac{(1 + e_{m}) \hat{p}}{κ_{m}}

여기서, $K_{m}$ 은 미시구조의 체적변형계수이며, $α_{m}$ 과 $β_{m}$ 는 미시구조 체적변형계수와 관련된 파라미터(parameters for microstructural bulk modulus), 그리고 $κ_{m}$ 는 미시구조의 과압밀 압축지수(microstructural elastic compression index)를 의미한다.

(7)

d ε_{v M}^{e} = \frac{d p}{K_{M}} + \frac{d s}{K_{s}} with K_{M} = \frac{(1 + e_{M}) p}{κ} and K_{s} = \frac{(1 + e_{M}) (s + p_{a t m})}{κ_{s}}

여기서, $K_{M}$ 은 평균응력 변화에 대한 거시구조의 체적변형계수(macrostructural bulk modulus for changes in mean stress)이고, $K_{s}$ 은 흡입력 변화에 대한 거시구조의 체적변형계수(macrostructural bulk modulus for changes in suction)이고, $p_{a t m}$ 은 대기압이며, 𝜅와 $κ_{s}$ 는 각각 거시구조의 과압밀 압축지수(macrostructural elastic compression index)와 수리적 팽윤지수(swelling index for changes in suction)를 의미한다(Lee et al., 2019, Lee et al., 2020).

그리고 총 체적변형률( $d ε_{v}^{e}$ )은 식 (8)과 같이 미시구조와 거시구조의 합으로 나타낼 수 있다.

(8)

d ε_{v}^{e} = d ε_{v m}^{e} + d ε_{v M}^{e}

중립선과 평행한 SI와 SD의 항복선(yield loci)은 경화(hardening) 파라미터(hardening parameters, $s_{i}$ and $s_{0}$ )를 이용해 식 (9)로 계산되고, BBM에서처럼, $p - s$ 평면에서의 LC 항복면의 형태를 결정하는 선행압밀응력(preconsolidation pressure, $p_{0}$ )는 식 (10)에 의해 계산된다.

(9)

\hat{p} - s_{i} = 0 and s_{0} - \hat{p} = 0

(10)

p_{0} = p_{c} {(\frac{p_{0}^{*}}{p_{c}})}^{\frac{λ (0) - κ}{λ (s) - κ}} with λ (s) = λ (0) [r + (1 - r) e^{- β s}]

여기서, $λ (s)$ 는 흡입력 $s$ 에서 정규압밀선(normal compression line) 의 기울기이며, $λ (0)$ 는 포화상태에서의 기울기이다. 그리고 $p_{0}^{*}$ 는 포화상태에서의 선행압밀응력을 의미하고, $p_{c}$ 는 기준 응력, 그리고 $r$ 및 𝛽는 물질 상수이다. 또한, 기준 응력 $p_{c}$ 는 불포화 상태에서 탄성 팽윤만을 수반하는 습윤 경로를 거쳐 도달하는 포화상태에서의 순응력으로 정의된다.

BExM에서의 세 항복면 SI, SD, 그리고 LC에 대한 경화법칙은 식 (11)과 (12)로 정의되는 두 개의 내부 변수 $d α_{1}$ 와 $d α_{2}$ 에 의해 계산된다. SI와 SD는 $d α_{1}$ 에 의해서 식 (13)과 같이 경화법칙이 적용되며, LC는 $d α_{2}$ 에 식 (14)에 의해 경화법칙이 적용된다.

(11)

d α_{1} = d ϵ_{v S I}^{p} + d ϵ_{v S D}^{p}

여기서, $d ϵ_{v S I}^{p}$ 와 $d ϵ_{v S D}^{p}$ 는 각각 항복면 SI와 SD의 활성화로 인해 발생하는 체적 소성변형률을 의미하며, 각각 식 (2)와 식 (1)로 계산된다. 이때, 식(1)과 식(2)의 체적 미시구조 변형률의 증분( $d ε_{V m}^{e}$ )은 식 (6)에 의해 계산된다.

(12)

d α_{2} = d ϵ_{v S I}^{p} + d ϵ_{v S D}^{p} + d ϵ_{v L C}^{p}

여기서, $d ϵ_{v L C}^{p}$ 는 LC 항복면의 활성화로 인해 발생하는 체적소성변형률을 의미한다.

(13)

d s_{i} = \frac{K_{m} d α_{1}}{f} = d s_{0}

(14)

\frac{d p_{0}^{*}}{p_{0}^{*}} = \frac{(1 + e_{M}) d α_{2}}{(λ (0) - κ)}

식 (13)에서의 미시구조와 거시구조의 연동함수 $f$ 는 SI가 활성화되면 $f = f_{I}$ 가 되고, SD가 활성화되면 $f = f_{D}$ 가 된다. 식 (11)에서부터 (14)에서 알 수 있듯이, SI 또는 SD가 활성화 될 경우, $d α_{2}$ 의 변화로 인해 LC 항복면은 변화되지만, LC가 활성화 될 경우에는 $d α_{2}$ 는 $d α_{1}$ 에 영향을 주지 않으므로 SI와 SD는 변화하지 않는다. Alonso et al.(1999)에 나타나 있는 BExM에서는 연동함수들을 식 (15)와 (16)으로 제안하였다.

(15)

f_{I} = f_{I 0} + f_{I 1} (p / p_{0})^{n_{I}}

(16)

f_{D} = f_{D 0} + f_{D 1} (1 - p / p_{0})^{n_{D}}

여기서, $n_{I}$ 와 $n_{D}$ 는 연동함수와 관련된 파라미터이다.

2) 삼축 응력 상태

BExM에서는 거시구조에 대해서만 편차응력에 영향을 받는 것으로 가정하고 있으며, 이는 BBM에서와 마찬가지로 식 (17)로 표현된다.

(17)

d ε_{q M}^{e} = \frac{d q}{3 G} with G = \frac{3 (1 - 3 v)}{2 (1 + v)} K_{M}

여기서, $q$ 는 편차응력(deviatoric stress), $K_{M}$ 은 평균응력 변화에 대한 거시구조의 체적변형계수(macrostructural bulk modulus for changes in mean stress), $G$ 는 전단 변형계수(shear modulus), 그리고 BExM에서는 상수로 반영되는 $v$ 는 포아송 비(Poisson’s ratio)이다.

Fig. 1에 나타나 있는 p-q-s 평면에서의 LC 항복면은 한계상태선의 기울기(slope of the critical state line, $M$ ), 흡입력 변화에 따른 점착력 변화를 나타내는 변수(parameter describing the the increase in cohesion with suctions, $k_{s}$ ), 그리고 선행압밀응력( $p_{0}$ )를 이용하여 식 (18)로 계산된다. 이때, SI와 SD는 변하지 않고 그대로 유지됨을 반드시 기억해야 한다.

(18)

q^{2} - M^{2} (p + k_{s} s) (p_{0} - p) = 0

경화법칙은 앞에서 언급하였듯이 체적 소성변형률에만 의존하기 때문에 등방압력 상태에 대한 공식과 관련하여서는 어떠한 변화도 없다. 하지만, 편차응력이 존재할 때에는 현재 응력상태로부터 LC 항복면까지의 거리를 $p / p_{0}$ 으로부터 계산할 수 없다. 이 경우, 식 (15)와 (16)의 연동함수 $f_{I}$ 와 $f_{D}$ 에 나타나 있는 $p / p_{0}$ 는 $p_{r} / p_{0}$ 로 계산되며, 이는 식 (19)로부터 계산된다.

(19)

p_{r} = p + \frac{q^{2}}{M^{2} (p + k_{s} s)}

비연관 모델(non-associative model)의 경우, BBM과 동일하게 식 (20)의 LC 항복면을 갖는다.

(20)

α_{a} q^{2} - M^{2} (p + k_{s} s) (p_{0} - p) = 0

여기서, $α_{a}$ 는 비연관 모델 파라미터이다.

만일, SI 또는 SD가 평균 전응력( $p$ ), 편차응력( $q$ ), 그리고 흡입력( $s$ )에 도달하게 되면, 소성 변형률의 방향은 Fig. 5에 나타나있는 LC 항복면의 이미지 포인트(image point)에서 흐름법칙(flow rule)에 의해 결정된다. 이때, 이미지 포인트에서의 좌표는 식 (21), (22), (23)과 같다.

(21)

p^{*} = \frac{M^{2} p_{0} - η^{2} k_{s} s}{η^{2} + M^{2}}

(22)

q^{*} = η (p^{*} + k_{s} s)

(23)

s^{*} = s

여기서, $η = \frac{q}{p + k_{s} s}$ 이다.

https://cdn.apub.kr/journalsite/sites/ksrm/2025-035-04/N0120350402/images/ksrm_2025_354_347_F5.jpg

Fig. 5.

Mapping of the current soil state onto the main yield locus in the generalized plasticity model (adapted from Sánchez et al., 2005)

4.2 제2절 모델 성능 및 적용 사례

이처럼 BExM은 미시구조와 거시구조로 구성된 이중구조 개념을 기반으로 하기 때문에, 기존 BBM으로는 설명이 어려웠던 팽윤성 점토의 복합 거동, 즉, 반복된 습윤-건조 과정에 따른 누적 변형률, 흡입력 변화에 따른 비가역적 팽윤 및 수축 변형률, 그리고 미시구조의 팽윤이 거시구조에 미치는 영향 등을 보다 정밀하게 모사할 수 있다. 이러한 모델의 특징은 다양한 실험 결과의 해석 및 수치해석 연구를 통해 입증되어 왔으며, Table 1은 BExM이 적용된 사례를 정리한 것이다. 본 표에는 모델 검증 및 파라미터 교정에 사용된 매질 및 시험 종류와 함께 고준위방사성폐기물 처분장 내 공학적방벽시스템의 THM 해석에의 적용 여부 등을 포함하였다.

Alonso et al.(1999)는 스페인 마드리드의 팽윤성 점토를 대상으로 한 흡입력 반복 압밀시험(cyclic suction oedometer tests; Pousada, 1984)과 벨기에의 Boom Clay로 제작한 펠렛의 흡입력 제어 압밀시험(controlled-suction oedometer tests; Alonso et al., 1995)을 통해 모델의 기본 구조와 성능을 검증하였으며, 적절한 연동함수를 사용하여 모델링한 결과 정석적인 현상 뿐 아니라 정량적인 변형률 또한 잘 재현됨을 보였다. 이후 Lloret et al.(2003)는 FEBEX 벤토나이트를 대상으로 다양한 응력경로를 적용한 흡입력 제어 압밀시험 결과와의 검증을 통해 모델의 적용성을 확장하였으며, Mrad(2005)와 Mrad et al.(2006)은 수치해석 코드 CODE_BRIGHT (Olivella et al., 1996)를 활용하여 실트-벤토나이트 혼합재(silt-bentonite mixture)에 대한 흡입력 제어 압밀시험 결과에 대해 추가적인 검증을 수행하였다. 특히, Sánchez et al.(2005)은 현장 규모 가열시험(large-scale in-situ heating test)에 BExM을 적용함으로써, 공학적방벽시스템 해석에의 적용 가능성을 입증하였다. 또한 Wang et al.(2013)은 BExM을 MX-80 벤토나이트/모래 혼합재(bentonite-sand mixture) 거동 해석에 적용하였으며, 특히 Sánchez et al.(2016)은 현장 시험에서 관찰된 FEBEX 벤토나이트 펠렛/파우더 혼합재(pellet-powder mixture) 거동과 FEBEX 벤토나이트의 실내 침투 시험 해석에 BExM을 적용하여 이중구조 모델의 다양한 적용성을 보여주었다. 최근에는 Xu et al.(2021)이 TOUGHREACT-FLAC3D 연동 모델을 활용하여 FEBEX 벤토나이트의 화학적 거동을 포함하여 Rutqvist et al.(2014)의 가상의 현장시험(hypothetical in-situ test) 해석에 적용하였다. 이러한 최근의 연구는 BExM 단순한 팽윤 거동 예측을 넘어서 다양한 점토 기반 매질에서 일어하는 열-수리-역학-화학(thermo-hydro-mechanical-chemical; THMC) 연계 거동 해석까지 확장될 수 있음을 보여준다.

Table 1.

Applications of the BExM in modelling the behavior of expansive soils

References	Model validation/parameter calibration		Application to HLW repositories
	Material	Tests	Simulation of EBS	Remarks
Alonso et al.(1999)	Compacted expansive clay from Madrid, Spain	Cyclic suction oedometer tests (Pousada, 1984)	Not included	First to propose and validate the BExM
	Compacted Boom Clay pellets	Controlled-suction oedometer tests (Alonso et al., 1995)
Lloret et al.(2003)	Compacted FEBEX bentonite¹	Controlled-suction oedometer tests (Lloret et al., 2003)	Not included	Validation against different stress path tests
Mrad(2005), Mrad et al.(2006)	Compacted Boom Clay	Controlled-suction oedometer tests (Romero, 1999)	Not included	Used CODE_BRIGHT
	Compacted silt-bentonite mixture	Controlled-suction oedometer tests (Cuisinier, 2002)
	Compacted FEBEX bentonite¹	Controlled-suction oedometer tests (Lloret et al., 2003)
Sánchez et al.(2005)	Compacted Boom Clay pellets	Swelling pressure tests (Romero, 1999)	Applied to a large-scale in-situ heating test (FEBEX Project, 2000)	Included an application to HLW repositories
	Compacted expansive clay from Madrid, Spain	Cyclic suction tests (Pousada, 1984)
Wang et al.(2013)	Compacted MX-80 bentonite/sand mixture	Controlled-suction oedometer tests (Wang et al., 2013)	Not included	Analyzed bentonite/sand mixture
Sánchez et al.(2016)	FEBEX bentonite¹ pellet-powder mixture	Adopted from intdependent tests in Volckaert et al.(2000)	Applied to a large-scale in-situ demonstration test (Volckaert et al., 2000)	Analyzed pellet-powder mixture as a double structure model
	Compacted FEBEX bentonite¹	Laboratory infiltration tests (Villar and Gomez-Espina, 2009)
Xu et al.(2021)	Compacted FEBEX bentonite¹	Controlled-suction tests (Lloret et al., 2003)	Applied to a hypothetical in-situ test (Rutqvist et al., 2014)	Introduced chemical coupling
	Compacted FEBEX bentonite¹	Swelling pressure tests (Castellanos et al., 2008)

¹A bentonite from the Cortijo de Archidona deposit, Almeria, Spain

5. 결 론

팽윤이 크게 발생하지 않는 불포화토에 대한 역학적인 거동을 모사하기 위해 MCC 모델을 확장하여 만든 전응력(total stress, $p$ )과 흡입력(suction, $s$ )을 모두 고려한 불포화토에 대한 탄소성 모델인 BBM이 제안되었다. BBM은 재하(loading)와 제하(unloading) 그리고 습윤(wetting) 및 건조(drying) 과정에서 불포화토에서 일어날 수 있는 1) 흡입력 증가에 따른 전단강도 및 선행압밀응력 증가, 2) 낮은 구속압에서의 흡입력 감소에 따른 가역적인 팽윤 변형률, 3) 높은 구속압에서의 흡입력 감소에 따른 비가역적인 붕괴 변형, 그리고 4) 임계 흡입력 이상으로의 흡입력 증가에 따른 비가역적인 수축 변형과 같은 대부분의 거동을 모사할 수 있다는 특징이 있다.

하지만, BBM은 매우 큰 팽윤 특성을 가지는 점토와 벤토나이트와 같은 불포화토의 미세구조 레벨과 거시구조 레벨 사이에서의 화학-수리-역학적 복합거동 현상과 관련된 초기 상태 및 응력경로에 대한 팽윤 변형과 팽윤압의 의존성, 반복적인 포화-건조에 따른 누적 변형률 발생 뿐만 아니라 2차 팽윤에 대한 현상을 BBM으로 모사하기 힘들다. 이에 점토와 벤토나이트와 같이 큰 팽윤 특성을 지니는 매질에 대한 역학모델인 BExM이 제안되었다.

본 기술보고에서는 BExM의 기본 개념과 BExM에서 복합거동을 모사하기 위해 사용된 수식들을 먼저 정리하였으며, 불포화토에 대한 하중 및 흡입력 변화와 반복된 포화-건조과정에 따른 복합거동 변화 및 공학적방벽시스템의 거동의 수치해석에 적용한 예를 정리하여 기술하였다. 본 보고서에서 살펴본 BExM은 향후 공학적방벽재인 벤토나이트 완충재 블록뿐만 아니라 뒤채움재에서의 THM 복합거동 특성 평가모델로 활용될 수 있을 것이며, 수치해석 시뮬레이터에 개발된 BExM 해석모듈은 본 기술보고에 기술된 높은 팽윤성을 가진 압축 벤토나이트의 거동에 적용한 예를 이용하여 검증할 수 있을 것으로 전망한다.

Acknowledgements

이 논문은 2021년도 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 사용후핵연료관리핵심기술개발사업단 및 한국연구재단의 지원(RS-2021-NR056198)과 고준위폐기물관리차세대혁신기술개발사업의 지원(RS-2021-NR056237)을 받아 수행된 연구사업입니다.

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Tunnel and Underground SpaceISSN:1225-1275(Print) 2287-1748(Online)한국암반공학회

Preview

A Review of the Barcelona Expansive Model (BExM) and its Application for Numerical Simulation of the Mechanical Behavior of Highly Expansive Unsaturated Soils

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

BBM yield locus in p-q-s plane (adapted from Alonso et al., 1999)

Fig. 2.

Schematic representation of the dual-structure model in the isotropic plane, including the neutral line (NL) and the loading-collapse (LC) yield surface (adapted from Gens and Alonso, 1992)

(1)

(2)

Fig. 3.

Typical shape of coupling functions fI and fD (adapted from Alonso et al., 1999)

(3)

(4)

Fig. 4.

Summary of micro-macropore interaction mechanisms (adapted from Alonso et al., 1999)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

Fig. 5.

Mapping of the current soil state onto the main yield locus in the generalized plasticity model (adapted from Sánchez et al., 2005)

Table 1.

Applications of the BExM in modelling the behavior of expansive soils

Acknowledgements

References

Typical shape of coupling functions $f_{I}$ and $f_{D}$ (adapted from Alonso et al., 1999)