Evaluation of Analysis Approaches for Recovery Data Following Pumping Tests in Fractured Rock

Hangbok Lee; Jung-Wook Park; Eui-Seob Park; Chan Park

doi:10.7474/TUS.2026.36.1.001

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Technical Note

Tunnel and Underground Space. 28 February 2026. 1-20
https://doi.org/10.7474/TUS.2026.36.1.001

Evaluation of Analysis Approaches for Recovery Data Following Pumping Tests in Fractured Rock

암반 양수시험-회복자료 분석 방안 검토

Hangbok Lee¹

Jung-Wook Park¹

Eui-Seob Park²

Chan Park¹^*

이 항복¹

박 정욱¹

박 의섭²

박 찬¹^*

¹Principal Researcher, Deep Geological Disposal and Energy Storage Research Center, Korea Institute of Geoscience and Mineral Resources

²Leader, Deep Geological Disposal and Energy Storage Research Center, Korea Institute of Geoscience and Mineral Resources

¹한국지질자원연구원 방폐물심층처분연구센터 책임연구원

²한국지질자원연구원 방폐물심층처분연구센터 센터장

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

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ABSTRACT

This report reviews key recovery analysis methods for interpreting drawdown recovery data following pumping tests conducted in fractured bedrock. Pumping tests are widely used for characterizing fractured aquifers, employing diagnostic plots to enhance the conceptual understanding of groundwater flow systems and to estimate hydraulic parameters. Recovery testing involves measuring the water level rebound in pumping and observation wells after the termination of pumping and is particularly useful under field conditions where precise control of discharge rates is difficult. Traditionally, recovery data have been analyzed based on the Theis recovery method, which has provided the foundation for various extended analytical approaches. While these methods offer reliable estimates of effective transmissivity, they are limited in providing specific insights into the conceptual flow models of fractured aquifers. Agarwal introduced an analysis technique capable of incorporating both early and late time hydraulic responses using recovery data. This method has since become a standard approach in both hydrogeological and petroleum reservoir engineering fields. The Agarwal method transforms recovery curves into equivalent drawdown curves under constant-rate pumping, thereby enhancing the accuracy of parameter estimation and contributing to the identification of appropriate conceptual flow models. This report examines case studies where the Agarwal method was applied to pumping-recovery test data, evaluating its applicability for interpreting limited and uncertain test results under complex, non-ideal flow conditions. The findings suggest that the Agarwal approach holds significant potential as an effective analytical tool for improving the accuracy of hydraulic characterization in fractured rock environments.

Keywords

Pumping test

Recovery data

Rock aquifer

Hydraulic response

Agarwal method

본 보고에서는 암반 내에서 수행된 양수시험 이후 회복자료를 분석하기 위한 회복해석 기법에 대해 검토하였다. 암반대수층 특성화를 위한 양수시험은 진단 플롯을 활용하여 암반 지하수계에 대한 개념적 이해를 도모하고, 수리상수를 추정하기 위한 목적으로 수행한다. 회복시험은 양수 종료 후, 양수공 및 관측공에서의 수위회복 반응을 측정하는 방식으로 이루어지며, 특히 정확한 양수 유량 제어가 어려운 현장 상황에서 유용하게 활용될 수 있다. 전통적으로 회복시험은 Theis 회복해석법을 기반으로 발전해왔으며, 이를 바탕으로 다양한 해석 기법들이 도입되어 왔다. 이들 분석법은 유효 투수도에 대한 신뢰성 있는 추정을 가능하게 하지만, 암반대수층의 개념적 수리 유동 모델에 대한 구체적인 정보는 제공하지 못하는 한계가 존재한다. Agarwal은 회복 데이터를 기반으로 초기 및 후기 수리반응을 모두 반영하는 해석 기법을 제안했으며, 현재는 암반수리지질 및 석유 산업 분야에서 표준 해석 분석법으로 널리 활용되고 있다. 이 분석법은 회복곡선을 일정 유량 조건 하의 등가 양수곡선으로 변환하여 재현함으로써, 우수한 수리상수 추정 결과를 제공할 뿐만 아니라, 개념적 유동 모델의 설정과 해석에도 효과적으로 기여할 수 있다. 본 보고에서는 Agarwal 분석법을 적용한 양수-회복시험 사례를 검토하여, 복잡하고 비이상적인 유동 조건 하에서 수집된 제한적이고 불확실성을 내포한 수리시험 자료의 해석 가능성과 활용성을 평가하였다. 이를 통해, 암반의 수리특성 평가 정확도를 향상시키기 위한 해석 기법으로서의 Agarwal 분석법의 적용 가능성을 검토하고자 한다.

키워드

양수시험

회복자료

암반대수층

수리반응

Agarwal 분석법

MAIN

1. 서 론
2. 양수-회복시험 및 Agarwal 분석법 개념
2.1 양수-회복시험 개념
2.2 Agarwal 분석법 개념 및 원리
2.3 Agarwal 및 Theis 회복 분석법의 정당성과 한계
3. Agarwal 분석법 성능 평가
3.1 이상적인 조건 : 양수 지속 시간의 중요성
3.2 비이상적인 조건 : 경계조건과 유동차원의 영향
3.3 비이상적인 조건 : 가변 양수 유량 조건
4. Agarwal 분석법의 양수-회복시험 적용사례
4.1 방사성폐기물 처분 부지 수리특성 평가 연구사례(Trabucchi et al., 2018)
4.2 지하 심부 굴착 시 배수시스템 설계용 수리상수 산정 연구사례(Deng et al., 2025)
4.3 이산화탄소 주입을 위한 암반저장대수층 수리시스템 특성 연구사례(Martinez-Landa et al., 2021)
5. 결론 및 제언

1. 서 론

현장 수리시험은 균열암반의 수리시스템 특성을 규명하기 위한 필수적인 방법으로, 유량과 압력 변화와 같은 인위적인 수리 교란에 대한 암반매질의 반응을 해석함으로써, 투수도(T, Transmissivity)나 저류계수(S, Storativity)와 같은 대표적인 수리상수를 직접 도출할 수 있다(Butler et al., 2019, Guihéneuf et al., 2023). 수리시험의 해석결과는 획득된 유량 및 압력 자료의 범위 및 품질과 더불어 해당 자료를 해석하는 접근방식에 의해서도 크게 영향을 받는다(Renard, 2018, Illman, 2020). 여러 수리시험 기법 중 양수시험은 시추공 내에서 일정 양수율로 지하수를 배출한 후, 암반매질의 압력변화에 따른 수위강하 반응을 측정하여, 시추공 주변 광범위한 암반의 수리특성을 반영한 수리상수를 산정하는 방식이다(Zhou et al., 2021, Lee and Lee, 2025). 양수시험은 루전시험, 펄스시험, 정압주입시험과 함께 균열암반에서 수리상수를 산정하는 데 활용되며, 나아가 암반대수층의 형태 및 균열망의 전반적인 수리연결성에 관한 정보를 제공할 수 있다(Guihéneuf et al., 2023, Ringel, 2024).

양수시험의 정확한 결과를 도출하기 위해서는 시험 기간 동안 일정한 양수율을 지속적으로 유지하는 것이 필수적이다. 그러나 실제 현장에서는 다양한 요인으로 인해 일정한 양수율을 유지하는 것이 현실적으로 어려운 경우가 많다. 예를 들어, 양수 과정 중 펌프 효율의 저하로 인해 시간이 지남에 따라 양수율이 감소할 수 있으며, 반대로 우물 효율의 변화로 인해 양수율이 증가하는 현상이 발생할 수도 있다. 또한 전력 공급의 불안정으로 일시적인 정전이 발생할 경우, 유량이 순간적으로 0에 도달하기도 하며, 저투수층과 같이 투수성이 낮은 환경에서는 시추공으로 자연 유입되는 지하수가 부족하여 일정한 유량을 유지하기 어려운 경우도 존재한다. 이와 같이 양수율의 불규칙성으로 인해 양수시험 자료의 품질이 저하되고 해석의 정확성이 떨어질 수 있는 문제를 보완하기 위해, 회복시험이 대안으로 제시되어 왔다. 회복시험은 양수 종료 후 발생하는 수위회복(잔류수위강하, residual drawdown) 데이터를 측정하고, 이에 중첩 원리를 적용하여 수리상수를 산정하는 방법이다. 특히, 양수 도중 펌프 작동 오류 등으로 인해 발생하는 양수율의 불규칙한 변동은 암반대수층의 수리반응에 직접적인 영향을 미치지 않고 간접적으로 작용하기 때문에, 회복단계에서 관측되는 수위변화에는 그 영향이 상대적으로 미미하다. 이로 인해 양수시험의 수위강하자료에 비해 회복시험의 수위회복자료는 노이즈가 적고, 더 높은 품질의 데이터와 보다 정확한 해석결과를 제공할 수 있는 가능성이 높다(Halford et al., 2012).

양수 종료 후 회복단계에서 관측된 수위회복 자료를 해석하기 위한 최초 시도는 Theis(1935)의 회복해석법에 기반한다. 이 분석법은 효과적인 투수도의 추정이 가능하다는 점에서 초기 회복해석 기법으로서의 의미가 크며, 양수시간이 길어질수록 넓은 지역을 대표하는 투수특성을 반영할 수 있는 견고한 해석 방식을 제공한다. 그러나 Theis 해석법은 저류계수에 대한 정보를 산정할 수 없고, 균질한 피압대수층과 같은 이상적인 환경조건에서만 적용 가능하다는 한계가 존재한다. 이러한 한계를 보완하기 위해, Cooper and Jacob(1946)이 제안한 직선 근사 기법을 기반으로 다양한 회복해석 분석법들이 개발되었으며, 이후 다수의 현장 수리시험 자료에 적용되고 그 유효성이 검증되었다(Agarwal, 1980, Banton and Bangoy, 1996, Trabucchi et al., 2018). 이들 대부분의 해석법은 수리상수를 산정하는 데 활용할 수 있으나, 암반대수층의 유동특성과 관련된 개념 모델에 대한 직접적인 정보는 제공하지 못하는 한계가 있다. Agarwal(1980)은 이러한 한계를 극복하고자 ‘등가시간(equivalent time)’ 개념을 도입하였다. 이를 통해 회복 데이터를 일정 유량 조건 하에서 수행된 양수시험과 유사한 형태로 변환하여, 수위강하곡선과 유사한 회복곡선을 생성할 수 있도록 하였다. 이 회복곡선은 기존 양수시험 해석에 사용되는 표준유형곡선(type curve)과의 매칭을 통해 도함수를 이용한 진단 분석을 수행할 수 있게 하며, 정량적인 수리상수 산출은 물론 암반대수층의 개념적 유동 모델에 대한 판별 또한 가능하게 한다. Agarwal 분석법은 경계조건의 영향, 다차원 균열 유동, 누수 대수층 등 다양한 비이상적인 지질 조건을 포함하는 실제 암반 환경에서도 적용 가능한 단순하면서도 효과적인 회복해석 기법이다. 이에 다라 암반대수층의 수리특성 규명에 있어 다양한 현장 조건에서 유용하게 활용되고 있다(Jafari and Stark, 2017, Toulier et al., 2022, Deng et al., 2025).

기존 연구진의 양수시험 관련 논문인 Lee et al.(2024)에서는 지온경사와 양수시험 자료를 활용하여 심부 암반대수층 투수성 암반균열의 수리특성을 연구하였으나, 양수 시의 수위하강 변화만을 평가하였고 Agarwal 분석법을 적용할 수 있는 회복 시 수위 복귀 변화에 관해서는 다루지 못하였다. Lee(2024)는 도함수 진단 분석의 개념과 여러 수리시험의 적용 사례, 한계 및 불확실성에 관해 상세히 분석하였으나, 양수시험 이후 회복단계의 해석에 관해서는 평가하지 못하였고 Agarwal 분석법에 관해서도 구체적으로 검토하지 않았다. Lee and Lee(2025)에서는 장기양수시험 수행을 통해 유동모델을 선정하고 심부 균열암반의 투수도를 산정하였는데, 이 연구에서도 장기 양수 단계에서의 압력 변화를 분석하였을 뿐 회복 단계에서의 Agarwal 분석법 적용에 관해서는 검토하지 못하였다. Lee(2025)와 Lee and Park(2025)는 모두 Agarwal 분석법을 단순화하여 정압주입시험 자료에 적용해보는 내용에 관해 검토하였고, 특히 정압주입시험 후 회복단계에 국한하여 Agarwal 분석법을 적용하였다. 그러나 Agarwal 분석법은 원래 양수 이후의 회복수위를 평가하기 위해 처음 개발된 분석법이며, 위 두 논문에서는 Agarwal 분석법의 처음 유도 과정에서의 정당성과 한계점에 관해 다루지 못하였고 시험 지속 시간과 수리학적 경계조건 및 유동차원의 상관성와 연관된 Agarwal 분석법의 성능 평가 개념에 관해서도 구체적으로 제시하지 못하였다. 또한 위 두 논문에서 주로 방사성폐기물 처분 관련하여 북유럽 기술선도국에서 기수행한 수리특성 평가 연구를 벤치마킹 하는 방식으로 부분적인 활용이 되었지만, Agarwal 분석법은 암반수리조사 뿐만 아니라 지하석유개발과 이산화탄소 저장 및 지열에너지 저장 등에서 보다 광범위하게 활용되고 있으며 일반적으로 정량배출(양수)시험에서 보다 높은 적용성을 보인다. 따라서 복합적이고 비이상적인 현장 조건이 자연적으로 다수 존재하는 균열암반 양수시험 후 회복시험의 신뢰도 높은 자료 해석을 위해서는 Agarwal 분석법의 장점과 한계, 현장 적용성을 제고할 수 있는 적용 시 유의사항에 관한 보다 구체적인 검토와 실무적인 제안이 필요하다.

본 보고에서는 Agarwal 분석법을 적용한 암반 양수-회복시험 연구사례를 검토하였으며, 복잡하고 제한적인 현장조건에서 수집된 수리시험자료의 해석 가능성과 활용성을 평가하였다. 먼저 양수-회복시험의 기본 개념과 Agarwal 분석법의 이론적 배경을 고찰하였으며, 회복곡선을 일정 양수율 조건의 양수곡선으로 변환하는 해석 절차에 대해 살펴보았다. 이후, 실제 회복단계에서 획득된 압력회복 자료에 Agarwal 분석법을 적용하여 수리상수를 산정하고, 지하수 유동 양상을 분석한 연구사례들을 제시하였다. 이를 통해 수리개념모델의 선정 및 평가 과정에서 Agarwal 분석법이 어떻게 활용될 수 있는지를 구체적으로 검토하였다. 아울러, Agarwal 분석법을 양수-회복시험에 적용할 때의 해석적 장점과 함께, 실제 해석 과정에서 주의해야 할 사항들에 대해서도 다각도로 논의하였다.

2. 양수-회복시험 및 Agarwal 분석법 개념

2.1 양수-회복시험 개념

양수시험을 성공적으로 수행하기 위해 가장 중요한 점은 시험 기간 내내 양수율을 일정하게 유지함으로써, 연속적이고 안정적인 형태의 고품질 수위강하(drawdown) 자료를 확보하는 것이다. 그러나 서론에서 언급한 바와 같이, 펌프 효율 저하, 전력 공급의 불안정성, 암반의 저투수성 등 다양한 요인으로 인해 실제 현장에서는 양수율의 일정한 유지가 어렵고, 펌핑 속도가 시간에 따라 변동하는 경우가 빈번하게 발생한다(Fig. 1). 이러한 양수의 불규칙성은 수위강하 곡선의 형태를 불연속적이고 비정형적으로 만들며, 이는 표준곡선 매칭을 기반으로 한 도함수 진단 분석의 정확도를 저하시켜 결과적으로 수리상수 산정에 오차 요인으로 작용하게 된다(Renard et al., 2009). 이러한 한계를 보완하기 위한 대안으로, 양수 종료 이후 수위가 원래 상태로 회복되는 과정을 측정하는 회복시험(recovery test)이 활용될 수 있다(Fig. 1). 양수 과정에서 발생하는 양수율 변동 등과 같은 수리적인 교란은 회복단계에서의 수위 변화에 직접적인 영향을 미치지 않기 때문에, 회복 자료는 일반적으로 더 완만하고 연속적인 시계열 곡선 형태를 나타낸다. 이에 따라, 회복단계에서 얻어진 자료는 해석에 보다 적합하며, 도출된 수리상수 또한 양수단계에 비해 신뢰도가 높은 것으로 알려져 있다(Halford et al., 2012).

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Fig. 1.

Drawdown and drawdown residual as a consequence of a pumping test carried out applying a variable pumping rate. The pumping rate decreases with time, becoming constant for a while after pumping shutdown (Trabucchi et al., 2018)

2.2 Agarwal 분석법 개념 및 원리

양수 이후 회복단계에서의 수위회복자료 해석은 Theis(1935)에 의해 최초로 제안되었으며, 이후 Cooper and Jacob(1946)이 개발한 직선 근사 기법을 기반으로 다양한 확장 연구가 이루어졌다. 여러 회복 해석 기법 가운데, Agarwal(1980)은 ‘등가시간’ 개념을 도입하여 회복곡선을 양수곡선과 동일한 형식으로 변환하는 효과적인 해석접근법을 제시하였다. 이 Agarwal 분석법은 이상적으로 크고 균질하며 외부 경계로부터 격리된 피압대수층을 가정하고, 완전 관통된 시추공에서 일정한 유량 조건 하에서 충분히 긴 시간 동안 양수가 수행되며, 이 과정에서 방사상 유동이 존재한다는 조건을 전제로 한다. 이러한 조건이 충족되는 경우, 시추공을 향하는 지하수 유동은 방사상 흐름으로 이상화될 수 있으며, Cooper and Jacob(1946)의 근사식을 통해 후기 시간 영역에서의 수위강하를 다음 식 (1)처럼 표현할 수 있다.

(1)

s (t) = \frac{Q}{4 π T} \ln (\frac{2.25 T}{r^{2} S} t)

식 (1)에서 $s (t)$ 는 수위강하 [L], $t$ 는 양수 경과시간 [T], $Q$ 는 펌핑 속도 또는 양수율 [L³/T], $T$ 는 투수량계수 [L²/T](=대수층 두께 [L]×수리전도도 [L/T]), $r$ 은 양수공으로부터의 유효반경 또는 양수공과 관측공 간 거리 [L], $S$ 는 저류계수 [-]를 나타낸다.

Agarwal(1980)은 중첩원리(superposition principle)를 바탕으로 회복단계에서의 수위변화를 해석하기 위해, ‘Agarwal 수위강하(Agarwal drawdown)’라 불리는 새로운 개념을 도입하였다(Fig. 2).

(2)

s_{A} (t) = s (t_{p}) - s_{R} (t) = s (t_{p}) - [s (t) - s (t - t_{p})], t > t_{p}

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Fig. 2.

Drawdown of pumping and recovery phases (Trabucchi et al., 2018)

식 (2)에서 $s_{A} (t)$ 는 Agarwal 수위강하량 [L], $t$ 는 양수가 시작된 시점으로부터의 총 경과시간[T], $t_{p}$ 는 양수가 종료된 시점 [T], $s (t_{p})$ 는 양수 종료 시점의 수위강하 [L], $s_{R} (t)$ 는 잔류수위강하 [L]을 의미한다. Theis(1935)는 회복시험의 수위회복을, 시추공(우물)의 양수가 종료된 시점부터 동일한 유량 조건의 재충전 우물이 동일 위치에 작동한 것과 같은 효과를 가지는 것으로 해석하였다. 다시 말하자면 회복곡선은 같은 위치에서 같은 유량으로 역방향 재충전이 시작되는 것으로 간주할 수 있고, 이것이 중첩원리에 기반한 해석 개념이라 할 수 있다. 이러한 개념에 따르면, 잔류수위강하는 실제수위강하에서 재충전 효과를 반영하여 계산된 값으로, 이들 사이에는 $s_{R} (t) = s (t) - s (t - t_{p})$ 의 관계가 성립한다.

Agarwal(1980)은 이 정의식에 Cooper and Jacob(1946)의 근사기법을 적용하여, 각 수위강하 항목을 로그함수 형태로 근사하고, 이를 통해 아래의 식 (3)을 유도하였다.

(3)

s_{A} (t) = \frac{Q}{4 π T} [\ln (\frac{2.25 T t_{p}}{r^{2} S}) - \ln (\frac{2.25 T t}{r^{2} S}) + \ln (\frac{2.25 T (t - t_{p})}{r^{2} S})] = \frac{Q}{4 π T} (\frac{2.25 T}{r^{2} S} t_{A})

위 식 (3)에 포함된 세 개의 수위강하 항의 시간 요소들을 등가시간 $t_{A} = t_{p} (t - t_{p}) / t$ 의 관계로 재정의하면, Agarwal 수위강하( $s_{A} (t)$ )의 최종 표현식은 앞서 제시한 Cooper and Jacob(1946) 근사식, 즉 식 (1)과 완전히 동일한 형식으로 나타낼 수 있다. 즉, Agarwal(1980)은 추가적인 수학적 논증이나 별도의 해석 기법 없이, 회복곡선( $s_{A} (t)$ ) 대 등가시간( $t_{A}$ )의 관계를, 일정 양수율( $Q$ )에 의해 유도된 수위강하곡선과 동일하게 간주하였다. 이처럼 등가시간 개념을 활용하여 회복자료를 수위강하자료로 변환·재구성함으로써, 회복단계에서 얻은 수위회복 데이터를 일반적인 양수시험 단계에서의 수위강하 데이터와 동일한 해석 절차로 분석하는 것이 가능해졌다.

양수시험 종료 이후 회복단계의 수위회복자료를 해석하기 위해 제안된 Agarwal 분석법은 다음과 같은 주요 특징들을 가진다. 첫째, 기존의 Cooper and Jacob(1946) 근사법은 이론적으로 짧은 회복시간( $(t - t_{p})$ )에 대해서는 적용이 제한되지만, 이 근사법을 확장하여 개발된 Agarwal 분석법은 짧은 회복시간 구간에서도 유효한 해석결과를 제공할 수 있다. 이는 Agarwal이 제안한 등가시간 관계식( $t_{A} = t_{p} (t - t_{p}) / t$ )을 통해 설명될 수 있으며, 양수시간( $t_{p}$ )이 충분히 길어져 $t_{p}$ 와 $t$ 가 유사한 크기를 갖게 되면, 등가시간 ( $t_{A}$ )은 실제 회복시간( $t - t_{p}$ )에 근접하게 된다. 이러한 특성은 양수시간이 충분히 확보된 경우, 비교적 짧은 회복시간에서도 신뢰성 있는 해석이 가능함을 시사한다. 둘째, 양수가 시작된 시점으로부터 총 경과시간( $t$ )이 무한대로 증가하더라도, 등가시간( $t_{A}$ )은 항상 양수시간( $t_{p}$ ) 이하의 값으로 수렴하기 때문에, Agarwal 분석법은 양수단계보다 더 긴 수위강하 곡선을 생성하지 않는다. 이는 수위반응 해석의 물리적 타당성을 보장한다는 점에서 해석의 안정성을 높이는 장점이 있다. 셋째, Agarwal 수위강하( $s_{A} (t)$ )는 양수 종료 시점의 수위강하( $s (t_{p})$ )와 회복단계에서 측정된 잔류수위강하( $s_{R} (t)$ )를 통해 직접 산정할 수 있으므로, 별도의 복잡한 모델 파라미터 추정 없이도 실측 데이터를 기반으로 해석이 가능하다. 넷째, Agarwal 분석법은 회복곡선을 일정 양수율 조건에서의 수위강하 곡선으로 변환하므로, 일반적인 양수 해석 절차와 동일하게 진단 플롯(diagnostic plot) 기법을 적용할 수 있다. 진단 플롯은 수위강하와 그에 대한 로그 도함수를 로그-로그 스케일에서 함께 플로팅하여, 표준해석곡선과의 비교를 통해 수리적 반응 특성을 시각적으로 분석하는 도구이다. 이를 통해 암반대수층 내의 수리적 반응 차이를 정밀하게 구분할 수 있으며, 경계 효과, 다차원 균열 유동, 누수대수층과 같이 여러 비이상적 유동 조건에 대한 개념적 해석모델을 판별하고, 가장 적절한 이론적 모델을 선택하는 데 유용하다. 또한, 양수 시추공으로부터 암반대수층으로의 지하수 흐름 양상이 시간에 따라 어떻게 변화하는지를 파악하는 데에도 효과적인 분석도구로 활용된다(Spane and Wurstner, 1993, Renard et al., 2009).

2.3 Agarwal 및 Theis 회복 분석법의 정당성과 한계

본 절에서는 Cooper and Jacob(1946) 근사 기법을 채택하는 데 필요한 장시간 일정 유량 조건이라는 Agarwal 분석법의 전제 조건을 분석한다. 이러한 제약 조건의 수학적 정당성은 Agarwal의 수두강하 해를 무한급수 형태로 근사하여 분석함으로써 수학적으로 검토할 수 있다. Cooper and Jacob(1946) 근사는 Theis 해의 장시간 해석으로부터 유도된 주항(leading term)을 의미한다. Theis 해석해는 다음 식 (4)과 같이 무차원 형식으로 재정리할 수 있다(Trabucchi et al., 2018).

(4)

s_{D} (t_{D}) = - γ + 1 n (4 t_{D}) + \frac{1}{4 t_{D}} - \frac{1}{2 ∙ 2! {(4 t_{D})}^{2}} + \frac{1}{3 ∙ 3! {(4 t_{D})}^{3}} - \dots + \frac{(- 1)^{n}}{n ∙ n! {(4 t_{D})}^{n}} + \dots

여기서 𝛾는 오일러 상수(약 0.5772), $s_{D} = 4 π T s / Q$ 는 무차원 수두강하, $t_{D} = t / t_{c} = T t / S r^{2}$ 은 무차원 시간을 나타낸다. 비교를 용이하게 하기 위해, 식 (4)에서는 일반적으로 사용되는 변수 $u = 1 / 4 t_{D}$ 대신 $4 t_{D}$ 형태를 유지하였다. 위 식 (4)을 Agarwal 무차원 해석식에 대입하고, 식 (2)에 $4 π T / Q$ 을 곱한 후 정리하면 다음 식 (5)과 같이 정리된다.

(5)

s_{A D} = - γ + \ln (4 t_{A D}) + \frac{1}{4 t_{A D}} - [\frac{1}{4 t_{D}}] - \frac{1}{2 ∙ 2!} [\frac{1}{{(4 t_{A D})}^{2}} - \frac{t_{p D}^{2} - t_{D} t_{p D} - 2 t_{D}^{2}}{4^{2} t_{D}^{2} t_{p D} (t_{D -} t_{p D})}] + \dots

여기서 $s_{A D}$ 는 Agarwal 해의 무차원 수두강하, $t_{p D}$ 는 $t_{p} / t_{c}$ , $t_{A D}$ 는 $t_{A} / t_{c}$ 을 나타낸다. 식 (4)과 (5)를 비교해 보면, 두 번째 항까지는 동일하며, 식 (5)에서 이후에 $1 / 4 t_{D}$ 항이 추가되어 있음을 알 수 있다. 이 항은 $t_{D}$ 가 충분히 클 경우 무시 가능하므로, Cooper and Jacob(1946) 근사의 유효 조건이 Agarwal 해의 유효 조건과 동일하다는 것을 의미한다. 즉, Agarwal 분석법은 양수 후기에서 Cooper and Jacob(1946) 근사가 성립하는 조건에서 유효하다는 것을 수학적으로 확인할 수 있다. 그러나 식 (5)의 맨 오른쪽 부분에 위치한 제곱 형태의 2차항은 ( $t_{D} - t_{p D}$ )이 작을 경우 그 값이 커질 수 있다. 또한 $t_{D}$ 가 증가함에 따라 2차항은 $1 / (t_{D} - t_{p D})$ 의 비율로만 감소하기 때문에, 무차원 시간( $t_{D}$ )이 작을 경우에는 오차가 상당 시간 동안 지속될 수 있다. 이러한 조건(충분히 큰 $t_{p D}$ , ( $t_{D} - t_{p D}$ ))은 $t_{c}$ (characteristic time)가 작은 양수공(pumping well)에서는 만족되기 쉬우나, 관측공(observation well)에서는 그렇지 않은 경우가 많다. 예를 들어, 시험지역에 투수도( $T$ )가 100 m²/day, 저류계수( $S$ )가 0.1, 시추공 반경( $r$ )이 0.1 m인 경우, 양수공의 $t_{c}$ (characteristic time)는 10^-5 day(약 1 sec)로 산정된다. 반면, 양수공으로부터 30 m 떨어진 관측공에서는 $t_{c}$ 값이 0.9 day(약 77,760 sec)로 매우 커지게 된다. 따라서 Agarwal 분석법은 양수공에서 획득한 수리자료 해석에는 매우 효과적이지만, 관측정에서 측정한 자료에 직접 적용할 경우 해석의 정확도에 한계가 존재할 수 있으므로, 적용 시 신중한 해석과 검토가 필요하다.

이처럼 Agarwal 분석법은 양수 종료 후 회복시험 자료의 해석에 있어 다양한 장점을 지니며, 특히 정량적인 수리상수 산정뿐만 아니라 정성적인 암반대수층 개념모델의 식별에도 효과적인 기법으로 평가된다. 본 분석법은 방사상 유동이 존재하고, 양수시간이 충분히 확보된 조건에서는 높은 신뢰도의 해석 결과를 제공할 수 있다. 그러나 이러한 적용 조건이 충족되지 않을 경우, 오차가 발생하여 해석 정확도가 낮아지는 한계점도 존재한다. Trabucchi et al.(2018)은 다양한 흐름 조건에서 Agarwal 분석법의 성능을 평가한 결과, 양수시간이 짧거나 비방사상 유동이 지배적인 경우(수리 경계 영향, 누수 대수층, 다차원 균열 유동 등) 해석결과에 오차가 발생할 수 있음을 확인하였다. 또한 회복시간이 지나치게 길어질 경우, 후기 회복구간에서는 이상적인 이론해와의 일치도가 저하될 수 있다는 점도 보고되었다.

본 2장의 내용을 요약하면, 양수 종료 후의 회복시험 자료인 잔류수위강하 곡선은 원래의 양수시험 자료시험 자료 못지않게 많은 암반대수층의 수리적 특성을 내포하고 있으며, 수리상수 산정(정량적 해석)과 개념모델 평가(정성적 해석) 모두에서 중요한 정보를 제공한다. 특히 개념모델을 식별하기 위한 진단 분석에서는 로그 도함수 곡선의 민감도가 매우 높기 때문에, 노이즈가 적고 정밀한 회복시험 데이터를 활용하는 것이 해석의 정확도를 높이는 데 중요하다. 따라서 양수 및 회복 데이터를 함께 고려하는 통합적 접근 방식은 암반대수층의 수리해석 신뢰도를 향상시키는데 효과적이다. Agarwal 분석법은 이러한 회복 곡선 기반의 해석에 매우 유용하게 활용될 수 있으며, 적용 시에는 유효 조건과 잠재적 한계에 대한 사전 검토가 필요하다. 이 Agarwal 분석법은 전 세계적으로 널리 사용되는 상용 수리해석 프로그램인 AQTESOLV(Duffield, 2007)에 구현되어 있으며, 이를 활용하면 비선형 회귀분석을 통한 자동 표준곡선 매칭을 빠르게 수행할 수 있다(Jafari and Stark, 2017, Harrström et al., 2018, Toulier et al., 2022, Deng et al., 2025). 또한 다양한 양수시험 해석모델을 일정 수렴 기준 하에서 비교·적용함으로써, 해석결과의 적합성과 타당성을 기준으로 최적의 암반대수층 개념모델을 선택하는 데에도 용이하다.

3. Agarwal 분석법 성능 평가

3.1 이상적인 조건 : 양수 지속 시간의 중요성

앞선 2.3절에서 살펴본 바와 같이, Agarwal 분석법은 반로그 스케일(semilogarithmic scale) 그래프에서 직선 거동이 나타날 정도로 충분히 긴 양수시간을 필요로 한다. 본 절에서는 이러한 양수시간( $t_{p D}$ )이 Agarwal 분석법을 활용한 회복시험 해석 결과에 어떤 영향을 미치는지 정량적으로 분석하였다(Fig. 3). 이를 위해, 이상적인 양수시험 해석해(Theis 해)를 기준으로 하고, 회복 데이터로부터 얻은 Agarwal의 수두강하 곡선( $s_{A}$ ) 대 등가시간( $t_{A}$ ) 관계를 서로 비교하였다. 이 분석의 목적은 양수시간과 회복시간의 길이가 수리해석 결과에 어떤 영향을 주는지를 비교하고, Agarwal 분석법이 어떤 조건에서 유효하며 어떤 한계를 가지는지를 평가하는 데 있다.

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Fig. 3.

Diagnostic plots representing recovery test interpretation in an ideal Theis aquifer for three different pumping durations using Agarwal recovery method. The ideal pumping test solution(Theis) is shown as reference (Trabucchi et al., 2018)

먼저 양수시간( $t_{p}$ )은 관측공의 특성시간인 ( $t_{c} = r^{2} S / T$ )를 기준으로 정의하였다. 이는 일반적으로 양수시험의 수리반응이 본격화되는 시점을 0.1 $t_{c}$ , 그리고 Cooper and Jacob(1946) 근사법이 본격 적용되는 시점을 $t_{c}$ ( $t_{p D}$ =1)로 간주하기 때문이다. Cooper and Jacob(1946) 근사법은 무차원 시간( $t_{D}$ ) 대신 $u = 1 / 4 t_{D}$ 을 사용하는데, 근사의 유효 범위는 $u$ <0.03, 즉 $t_{p D}$ >8로 간주된다. 따라서 Fig. 3의 분석에서는 세 가지 양수시간( $t_{p D}$ =0.5, 1, 10)을 설정하였고, 각각에 대해 회복시간은 양수시간의 4배( $t_{r D}$ =4 $t_{p D}$ )로 고정하였다.

Fig. 3은 Agarwal 분석법의 적용 결과에서 다음 두 가지의 주요 경향을 보여준다. 첫째, 양수 지속 시간이 길수록 Agarwal 해석곡선과 Theis 해가 더 잘 일치하며, 특히 $t_{p D}$ =10일 때, 이상적인 해와 거의 완전하게 일치함을 보여준다. 이는 장시간 양수가 quasi-steady 상태(도함수가 평탄해지는 시점)를 유도한다는 것을 의미한다. 둘째, 회복시간이 길수록 Agarwal 해석결과가 Theis 해에 더 잘 근접한다. 반대로, 양수시간이 짧은 경우에는 초기 회복시점에서 음(-)의 수위강하 및 음의 도함수가 나타나는 등 부정확한 결과를 나타낸다. 이러한 두 관찰 결과는 2.3절의 이론적 논의와 잘 부합한다고 볼 수 있다.

3.2 비이상적인 조건 : 경계조건과 유동차원의 영향

Agarwal 분석법은 충분한 양수 지속 시간 외에도, 대규모 균질 피압대수층(rigid, homogeneous, confined aquifer) 및 방사상 유동(radial flow)을 가정한 상태에서 개발되었다. 실제 암반대수층은 이상적인 해석 조건을 충족하지 못하는 경우가 많다. 따라서 Agarwal 분석법의 적용 가능성과 해석 신뢰도를 확보하기 위해서는, 이러한 비이상적인 조건(non-ideal conditions) 하에서의 성능 평가와 한계 분석이 필요하다. Fig. 4에서는 이러한 이상적인 가정에서 벗어나는 조건들의 영향을 다음과 같은 네 가지 사례로 나누어 분석하였다. 첫째, 불투수성경계(no-flow boundary)인데 불투수 장벽이 존재하는 경우로, 이미지 시추공(image well) 이론에 따라 $r_{0}^{2} / r^{2}$ =100으로 정의되며, 여기서 $r_{0}$ 은 이미지 시추공으로부터 관측공까지의 거리, $r$ 은 양수공으로부터 관측공까지의 거리이다. 둘째, 불투수성 경계와 동일한 특성시간(characteristic time)을 갖는 정수위 조건이 존재하는 고정수두경계이다. 셋째, 누수대수층으로 무차원 수 $B_{D} = B / r$ ( $B$ 는 누수계수, $r$ 은 양수공으로부터 관측공까지 거리)로 정의되는 누수 조건이 존재하는 경우이다. 마지막 선형 유동 조건으로 유동차원이 1로 가정되는 선형 유동 조건을 고려하여 유동차원의 변화가 해석에 미치는 영향을 분석한다. 각 조건에 대해 다음과 같은 세 가지 양수시간( $t_{p D}$ =1, 10, 100)에 대해 수치모사를 수행하였고, 회복시간( $t_{r D}$ )은 양수시간( $t_{p D}$ )의 4배로 고정하였다. 이는 앞선 3.1절의 이상 조건 분석과 달리, 경계조건의 영향을 명확히 보기 위해 더 긴 양수시간을 사용한 것이다.

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Fig. 4.

Diagnostic plots representing recovery test interpretation under non-ideal conditions. Three different pumping times have been analyzed applying Agarwal method. The analytical solution for pumping is shown as a reference (Trabucchi et al., 2018)

Fig. 4에 도시된 결과에서, 비이상적인 조건 하 Agarwal 분석법의 적용성과 한계를 다음과 같이 정리할 수 있다. 먼저 불투수성경계, 고정수두경계, 누수대수층 조건에서는 3.1절의 이상 조건에서와 동일한 경향을 보였다. 즉 양수시간이 길어질수록, 해석곡선이 이론해(analytical solution)에 잘 수렴하였다. 그러나 양수시간이 짧은 경우에는 시험 초기 시간대에서 오차가 발생하였고, 회복 후기 시간대에서도 이상적인 양수곡선을 재현하기 어려웠다. 1차원 유동 시스템에서는 짧거나 긴 양수시간 모두에서 해석곡선이 이상 해와 완전히 일치하지 못하는 양상을 나타냈다. 전반적으로 양수시간이 충분히 확보될 경우, 경계 조건의 영향을 받는 비이상적인 환경에서도 Agarwal 분석법을 이용한 양수시험 회복자료의 해석이 신뢰성 있는 결과를 제공할 수 있는 것으로 확인되었다. 그러나 1차원 선형 유동 조건에서는 이론 해석 결과와 일부 차이를 보이는 경향이 나타났으며, 이렇게 비방사상 흐름이 지배적인 환경에서는 Agarwal 분석법을 적용할 때 해석 오차가 발생할 수 있다. 따라서 이러한 복합 유동 조건 하에서 Agarwal 분석법을 활용할 경우, 수리해석 결과의 타당성에 대한 면밀한 검토와 함께 기존의 다른 회복해석 기법의 병행 적용을 통한 비교·평가도 필요할 것으로 판단된다.

3.3 비이상적인 조건 : 가변 양수 유량 조건

서론에서 언급했듯이, 현장 조건에서 양수 유량을 일정하게 유지하는 것은 매우 어렵고, 이러한 어려움이 회복구간 데이터 해석에 대한 중요성과 필요성을 부각시키는 배경이 된다. 본 절에서는 시간에 따라 변하는 양수 유량(variable pumping rate)이 이상적인 대수층 조건(Theis 조건)에서 해석법에 미치는 영향에 대해 분석하였다. 시간에 따라 흐름이 점차 감소하는 경우를 다음 식 (6)과 같이 3차 함수 형태의 시간종속 유량 함수( $Q'$ )로 표현할 수 있다(Trabucchi et al., 2018).

(6)

Q^{'} (t) = Q_{\max}^{'} - Q_{\max}^{'} [\frac{3}{2} (\frac{t}{t_{c Q}}) - \frac{1}{2} {(\frac{t}{t_{c Q}})}^{3}], 0 < t \leq t_{c Q}, Q^{'} (t) = 0, t_{c Q} < t \leq t_{p}

여기서 $Q^{'} (t)$ 는 최대 양수 유량( $t$ =0일 때), $t_{c Q}$ (= $R_{t}$ · $t_{p}$ )는 양수 유량이 0이 되는 시점으로 매개변수인 $R_{t}$ 과 양수시간인 $t_{p}$ 에 비례하며, $R_{q}$ (= $Q_{c} / Q'_{\max}$ )는 일정 양수 유량인 $Q_{c}$ 와 최대 양수 유량인 $Q'_{\max}$ 간의 비율을 의미한다. 실험 조건 및 해석 방식을 양수시간( $t_{p} = 10 t_{c}$ ) 및 회복시간( $t_{r} = 4 t_{p}$ )으로 고정한 상태에서, 다양한 $R_{t}$ 과 $R_{q}$ 값 조합을 고려한 수치모사를 수행하였다. 이 실험의 목적은 가변 양수 유량 조건에서 일반적인 Agarwal 시간을 사용한 해석과 수정된 등가시간(가변 유량 반영)을 사용한 해석 결과를 비교하는 것이었다. 회복자료 해석결과는 이상적인 양수 해석곡선인 동일한 시간 동안 동일한 유량을 양수한 정유량 조건의 해석결과와 비교하여 평가되었다. 해석은 무차원 변수로 표현된 도함수 진단 플롯을 통해 비교하였다. 실험에서는 양수시간의 무차원 값( $t_{p D}$ )과 양수 유량의 변화율( $R_{q}$ )은 고정한 상태로, 양수 유량이 변화하는 기간( $R_{t}$ )만 변화시켰다.

Fig. 5의 결과에 따르면, 양수 유량 변동의 지속 시간이 길어질수록( $R_{t}$ 증가), 일반적인 Agarwal 등가시간을 기반으로 한 해석에서는 이상적인 양수 해석 결과를 정확히 재현하지 못하는 것으로 나타났다. 반면, 가변 유량 조건을 반영하여 수정된 등가시간을 적용한 해석에서는 이상적인 해석곡선과의 높은 일치도를 보였다. 이는 양수 유량이 시간에 따라 변화하는 경우, 회복자료 해석 시 유량 변동의 영향을 반드시 고려해야함을 의미한다. 유량 변화를 무시할 경우, 해석결과의 정확도가 현저히 떨어질 수 있으며, 수리상수의 과소 또는 과대 추정으로 이어질 수 있다. 따라서 가변 유량 조건 하에서 Agarwal 분석법을 적용할 경우, 유량 변동을 반영한 등가시간 보정이 필수적으로 수행되어야 한다. 이러한 보정 과정을 통해 회복자료를 보다 정밀하게 해석할 수 있으며, 나아가 암반대수층의 개념적 유동모델 진단 및 해석에도 보다 신뢰성 있는 결과를 제공할 수 있다.

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Fig. 5.

Diagnostic plots obtained from recovery data after pumping an ideal Theis aquifer at a variable rate condition. Three different values of $R_{t}$ have been analyzed. The plots have been obtained both assuming constant pumping rate (above) and variable pumping rate (below) (Trabucchi et al., 2018)

4. Agarwal 분석법의 양수-회복시험 적용사례

4.1 방사성폐기물 처분 부지 수리특성 평가 연구사례(Trabucchi et al., 2018)

Fig. 6은 스위스 지하연구시설(Grimsel Underground Laboratory)의 FEBEX 터널에서 수행된 수리시험 사례로, 두 개의 교차 시추공 간 시험 데이터를 활용하여 Agarwal 분석법을 적용하고, 그 성능과 장점을 평가한 연구 결과를 보여준다. 해당 현장시험의 특성과 조건, 그리고 기존 수리해석 결과는 Martinez-Landa and Carrera(2005, 2006)에 의해 상세히 보고된 바 있다(Fig. 6a). 시험은 FEBEX 터널 내 I2-1 지점에서의 일정 유량 주입(418.2 m³/day, 총 4.63일간)과, F22-3 지점(주입 지점으로부터 2.86 m 거리)에서의 수위 관측으로 구성되었으며, 회복기간은 양수기간의 약 60%( $t_{r} = 0.6 t_{p}$ )에 해당한다(Fig. 6b). 시험 중 관측 지점에서는 준 정상상태(quasi steady-state)에 도달하였고, 이는 Fig. 6의 시계열 곡선에서도 명확히 확인된다. 정량적으로도 관측 지점의 특성시간( $t_{c}$ )이 0.22일로 계산되었고, 무차원 양수시간( $t_{p D}$ )은 21.47로 나타나, 이론적 기준을 만족하는 조건임을 보여준다. 이러한 결과는 본 현장시험에서 Agarwal 분석법이 유효하게 적용될 수 있는 해석 조건을 충족하고 있음을 의미한다.

Fig. 6(c)에는 본 시험의 진단 플롯이 제시되어 있으며, 이 플롯에는 실제 양수에 의해 생성된 수위강하(drawdown) 자료와 Agarwal 분석법을 통해 환산된 회복기 수위강하가 함께 포함되어 있다. 이론적으로 예측한 바와 같이, Agarwal 분석법을 적용한 회복곡선은 실제 양수자료와 거의 완벽하게 일치하는 곡선을 형성하였다. 수위강하와 로그 도함수를 동시 플로팅한 진단 플롯에서도 도함수 곡선과의 매칭적합도가 매우 우수하게 나타났으며, 이를 통해 지하수 유동에 대한 개념모델 도출의 정확도 또한 매우 높게 확보되었다. 또한 Agarwal 분석을 통해 산정된 투수도 및 저류계수는 기존 양수자료 해석결과와 비교했을 때 매우 작은 차이를 보였으며, 이는 회복자료만을 이용한 해석의 정밀도와 신뢰성을 뒷받침한다. 결과적으로 본 연구사례는 양수 지속 시간이 충분하고, 관측 지점의 수리반응이 빠른 조건에서는 Agarwal 분석법이 회복자료 분석에 있어 매우 신뢰도 높은 해석결과를 제공할 수 있음을 입증하였다. 특히, Agarwal 분석법은 회복구간 데이터만으로도 양수구간 해석과 동일한 수준의 정밀도를 달성할 수 있음을 보여주었다.

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Fig. 6.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for hydraulic characterization of a radioactive waste disposal site (Trabucchi et al., 2018)

4.2 지하 심부 굴착 시 배수시스템 설계용 수리상수 산정 연구사례(Deng et al., 2025)

Fig. 7은 대만의 대도시 지역에서 심부 굴착 시 배수시스템 설계를 위한 기초 자료 확보를 목적으로 수행된 수리시험 사례로, 자갈-조약돌 퇴적층의 수리지질학적 파라미터를 도출하기 위해 양수시험 후 회복자료에 Agarwal 분석법을 적용한 연구결과를 보여준다. 해당 지역에는 자갈 및 조약돌층이 광범위하게 분포하고 있으며, 총 23개의 시추공이 30~45 m 깊이 범위에서 굴착되었다(Fig. 7a). 양수시험은 단공 양수 방식으로 수행되었으며, 양수공은 PW2로 지정되었고, 관측공은 OW5, OW4, OW2, PW1, PW9로 구성되었다(Fig. 7b). 양수공과 관측공 사이의 최대 이격 거리는 78.1 m에 이르렀다. 각 시추공에는 전기석 압력계가 설치되었고, 유량 조정 및 데이터 수집을 위한 시스템에는 조절 밸브가 부착된 기계식 유량계가 설치되었다. 양수시험은 일정 유량 조건의 정유량 시험과 유량이 시간에 따라 변화하는 변유량 시험으로 구분하여 실시하였으며, 각각 36시간의 양수단계와 36시간의 회복단계로 구성되었다. 본 연구지역은 투수성이 매우 높은 자갈혼합층으로, 여름철 우기에 강한 대류성 강우가 빈번하여 양수 유량의 변동성이 컸다. 정유량 시험에서는 유량을 일정 범위 내에서 유지하기 위해 밸브를 수동 조절하였다. 반면, 변유량 시험에서는 유량 조절이 별도로 필요하지 않아 상대적으로 운영이 간편하였다. 변유량 시험의 초기 유량 변화는 수기로 기록되었고, 중후반부에는 타임랩스 촬영을 통해 자동화된 방식으로 기록되었다. 데이터의 신뢰도 확보를 위해 시험 기간 동안 주변의 다른 양수작업은 일시 중단되었으며, 수위강하 및 회복 이력은 전기식 압력계를 통해 정밀하게 측정되었다.

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Fig. 7.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for the design of a dewatering system during deep excavation (Deng et al., 2025)

Fig. 7(c)은 정유량 및 변유량 양수시험으로부터 얻은 자료를 AQTESOLV 소프트웨어에 입력하고, Agarwal 분석법을 적용하여 회복자료를 해석한 결과를 보여준다. 시추공의 직경, 스크린 심도, 양수공-관측공 간 거리 등은 실제 현장 조건을 반영하여 설정하였으며, Moench 이론(Moench, 1997, Moench et al., 2001)에 기반한 곡선을 양수 및 회복단계의 측정자료와 매칭시켜 자갈-역암 혼합층의 수리상수를 역산하였다. 특히 회복단계의 자료는 Agarwal의 등가시간 개념을 활용하여 변환한 후 해석에 활용하였다. 해석 결과, 정유량 시험에서 산정된 투수계수는 2.49×10^-2~3.47×10^-2 cm/s의 범위를 보였으며, 기하평균은 2.8×10^-2 cm/s로 나타났다. 비저류계수는 1.09×10^-5~8.71×10^-5 (1/m)의 범위를 보였고, 기하평균은 2.88×10^-5 (1/m)로 평가되었다. 변유량 시험의 경우, 투수계수는 2.09×10^-2~3.63×10^-2 cm/s, 기하평균은 2.54×10^-2 cm/s로 산정되었다. 비저류계수는 1.38×10^-5~5.74×10^-5 (1/m), 기하평균 3.04×10^-5 (1/m)를 나타냈다.

전체적으로 정유량 및 변유량 시험 결과 간 수리상수의 범위와 기하평균 값이 높은 일치도를 보였으며, 이는 Agarwal 분석법이 유량 변동이 큰 고투수성 환경에서도 양수시험-회복자료를 이용한 수리특성 평가에 있어 높은 신뢰도와 정밀도를 제공함을 입증하는 연구사례라 할 수 있다.

4.3 이산화탄소 주입을 위한 암반저장대수층 수리시스템 특성 연구사례(Martinez-Landa et al., 2021)

Fig. 8은 이스라엘 Heletz 부지에서 수행된 CO₂ 지중 주입 및 저장 관련 연구사례로, 대상 암반대수층의 포화도 추정 및 잔류 포획 특성 평가를 목적으로 양수시험을 실시하고, 이후 회복자료에 Agarwal 분석법을 적용하여 투수계수를 산정하고 지하수 유동 특성을 분석한 결과를 제시한다. Heletz 부지는 소규모 과학 실험을 목적으로 정밀하게 특성화된 CO₂ 주입실험 부지로, 지하 1.6 km 깊이에 위치한 사암층에서 다양한 주입 및 모니터링 실험이 가능하도록 조성되어 있다. 대상 저장층은 약 1615 m 심도의 Heletz 사암층으로, 점토층에 의해 구분되는 K, W, A의 세 개 층으로 구성되며, 이 중 W층과 A층이 CO₂ 주입을 위해 천공되었다(Fig. 8a). 전체 대수층 두께는 약 25 m 이나, 실제로 스크린이 설치된 집합 유동 구간은 점토층으로 구분된 W층 및 A층의 총 13 m에 해당한다. 상부에는 석회암 차단층이 존재하여 저장층을 물리적으로 봉쇄하는 역할을 한다.

해당 시험에서는 CO₂ 잔류 포획 구간의 형성을 목적으로 push-pull 방식의 주입시험이 수행되었으며, 암반대수층의 수리학적 반응을 분석하기 위해 CO₂ 주입 전후 각각 HT1 및 HT2 수리시험이 실시되었다(Martinez-Landa et al., 2013). 잔류 포획은 주입 직후 시추공을 대기와 연결하여 자발적으로 CO₂를 방출한 후, 능동적 양수를 통해 형성되었으며, 이로 인해 대상 지층이 잔류 상태에 도달한 것으로 해석하였다(Rasmusson et al., 2014, Niemi et al., 2016, Joodaki et al., 2020).

두 수리시험 모두에서 물은 공기주입식 양수(air-lift pumping) 방식으로 양수되었다. 이는 지하수위가 약 300 m 깊이에 위치하여 일반적인 펌프 사용이 어려운 현장 여건 때문이며, 이 지역의 수자원 제약으로 인해 일반적인 주입 방식도 제한을 받았다. 공기주입식 양수 방식은 유량 제어가 어렵다는 단점을 가지며, 유량은 시추공에서 분리된 공기 성분 제거 후 모니터링 되었으나, 평균화 및 시간 지연의 가능성이 존재한다. 또한 공기주입식 양수의 또 다른 문제는 공기 주입이 중단된 후에도 짧은 시간 동안 물이 계속해서 유출된다는 점이다. 이 현상은 큰 공내저류효과를 가정하여 모사할 수 있으며, HT2 시험에서 이 효과는 더욱 뚜렷하게 관찰되었다. HT2에서는 물이 더 오랫동안 유출되었고, 이로 인해 초기 회복 속도가 HT1 시험보다 훨씬 느렸다. 이는 CO₂가 포화된 지하수가 관을 따라 상승하면서 압력 감소에 따라 탈기 현상이 발생한 결과로 해석된다.

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Fig. 8.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for the evaluation of residual CO₂ trapping characteristics (Martinez-Landa et al., 2021)

압력은 시험구간 상·하단에 설치된 두 개의 센서를 통해 연속적으로 측정되었으며(Fig. 8a), 이들 간 압력차는 구간 내 유체의 수두 중량을 반영한다. 본 센서 배열은 중복 측정을 통해 시추공 내 CO₂의 깊이를 파악하고, 주입시험 중 압력 이상 여부를 검증하기 위해 설계되었다. 두 수리시험 동안 이 압력차는 일정하게 유지되어, 시험구간이 안정적으로 물로 포화되어 있음을 나타내며, 두 압력 측정값의 타당함을 보여주는 근거가 되었다. 온도 및 압력 자료는 양수 및 회복단계에서 수 초 간격으로 고해상도로 측정되었다.

Fig. 8(b)은 HT1 및 HT2 수리시험 자료를 Agarwal 분석법 기반의 순차적 해석 절차에 따라 분석한 과정을 단계별로 보여준다. Step 1에서는 Heletz 지층의 상대적으로 높은 투수성과 심부 대수층의 격리 상태로 인해 시험 전후 압력이 안정적으로 유지되었으며, 이에 따라 별도의 자료 필터링 없이도 분석이 원활히 수행되었다. Step 2에서는 공기주입식 양수 방식으로 인한 유량의 변동성이 자료 해석의 주요 제약 요인이었으며, 이를 보정하기 위해 가변 유량 조건에 적용 가능한 Agarwal 등가시간 변환을 활용하였다. HT1과 HT2 시험에 적용된 기준 정규화 유량( $Q_{c}$ )은 각각 5.2 m³/h 및 7.2 m³/h이며, 수두강하를 $Q_{c}$ 로 나눈 정규화된 수두강하값을 도식화하여 두 시험 간 직접 비교가 가능하도록 하였다. HT2의 경우, 양수 종료 시점( $t_{p}$ ) 설정이 불명확했는데, 이는 초기 회복 속도가 매우 느리게 나타났기 때문이며, 이는 CO₂ 탈기 현상에 기인한 것으로 해석되었다. Step 3에서는 앞선 절차를 통해 처리된 자료를 기반으로 진단 플롯을 작성하였다.

Fig. 8(c)은 HT1 시험의 진단 플롯 해석 결과를 보여준다. 초기 수두강하는 시추공 내 체적 부피의 영향이 지배적이며, 지층으로부터의 유입은 미미하므로, 이 구간에서 수두강하는 시간에 비례하고 로그-로그 플롯의 도함수 곡선은 기울기 1의 직선 형태를 나타낸다. 이후 도함수 곡선의 최대값은 공내저류 및 스킨효과가 끝나는 시점을 나타내며, 이후 도함수는 기울기 0을 향해 수렴하며 방사상 유동 조건에 도달한다. 그러나 약 200초 부근에서 도함수가 급격히 하강하는 구간이 관찰되며, 이는 이중 공극 모델 또는 지연 저류를 의미한다. 일반적으로 이중 공극 시스템에서는 도함수 하강이 점진적이고 장시간에 걸쳐 발생하므로, 이 시험에서의 급격한 하강은 회복 과정에서 잔존 가스 기포로 인한 비정상 거동 가능성도 함께 고려된다. 약 1000초 경과 후에는 재차 방사상 유동이 형성되지만, 해당 유동 구간은 한 로그 사이클의 절반에 불과하다. 이후 도함수는 기울기 0.6의 선형 상승 구간을 형성하는데, 이는 유동차원이 0.8인 거듭제곱 법칙 유동에 해당한다. 이러한 유동 패턴은 유동 면적 또는 유효 투수성이 반경에 따라 급격히 감소하는 불균질한 암반 수리시스템에서 발생할 수 있다. 이는 인접한 약 250 m 거리 내의 불투수성 단층 두 개의 존재로도 설명 가능하며, 유동 영향 반경이 단층에 도달함에 따라 유동 경계 효과가 도함수 형태에 반영된 것으로 해석된다. 실제로, 후반부에서는 도함수 기울기의 완화 현상이 확인되었다.

HT1과 HT2의 진단 플롯은 전반적으로 유사한 패턴을 보였으나, 초기 구간에서는 명확한 차이를 나타냈다. 이는 양수공 주변 수리 조건의 변화로 인한 것으로 판단된다. 특히 HT2의 로그 도함수 곡선에서는 공내저류효과의 최대 시점이 HT1에 비해 현저히 지연되었으며(HT1 : 50초 / HT2 : 700초), 스킨효과 또한 HT2에서 더욱 뚜렷하게 관찰되었다. 이는 기존 수행연구인 Martinez-Landa et al.(2013)의 예측과도 잘 일치하는 결과이다. 도함수의 수평구간에서 도출한 수리전도도는 HT1에서 9.6×10^-4 m/s, HT2에서 7.3×10^-4 m/s로 산정되었다. 이 시험들은 CO₂ 포화 상태 및 유량 제어가 어려운 공기주입식 양수조건이라는 복잡한 현장 제약에도 불구하고, Agarwal 분석법을 활용한 회복자료 해석을 통해 심부 암반대수층의 수리특성을 효과적으로 도출할 수 있음을 보여주는 대표적인 연구사례라 할 수 있다.

Table 1은 위에서 검토한 세 가지 주요 Agarwal 분석법의 양수-회복시험 작용사례를 정리한 것이다. 적용 목적, 지질환경, 시험 유형, 자료 특성, 진단 플롯 결과, 산정 수리상수 신뢰도, 주요 특징과 의의 등을 통해 적용사례 간 공통점과 차이점을 보다 명확히 확인할 수 있다.

Table 1.

Comparison of three field case studies applying the Agarwal method

Category	Case Study 1: Radioactive Waste Disposal Site (Trabucchi et al., 2018)	Case Study 2: Deep Excavation Dewatering Design (Deng et al., 2025)	Case Study 3: CO₂ Storage Aquifer (Martinez-Landa et al., 2021)
Main objective	Hydraulic characterization and connectivity assessment of a radioactive waste disposal site	Estimation of hydraulic parameters for designing a dewatering system during deep excavation in an urban area	Evaluation of hydraulic properties and residual CO₂ trapping behavior in a geological storage formation
Geological condition	Fractured crystalline rock (Grimsel Underground Laboratory)	Highly permeable gravel-cobble alluvial deposits	Deep sandstone reservoir (~1.6 km depth)
Test type	Cross-borehole injection-recovery test	Single-well pumping-recovery test (both constant-rate and variable-rate conditions)	Pumping-recovery test using air-lift pumping
Data characteristics	Quasi steady-state conditions achieved; rapid hydraulic response observed	Significant discharge fluctuations due to seasonal rainfall and high transmissivity	Strong wellbore storage and gas exsolution effects influencing early-time recovery
Diagnostic plot results	Recovery curve matched the pumping drawdown curve almost perfectly	High-quality curve fitting achieved for both constant-rate and variable-rate tests	Complex derivative behavior observed, including wellbore storage, dual-porosity response, and boundary effects
Reliability of estimated parameters	Transmissivity and storativity estimates closely agreed with conventional pumping-test interpretations	Strong consistency between hydraulic parameters obtained from constant-rate and variable-rate tests	Despite complicated field constraints, transmissivity estimates were successfully derived from recovery analysis
Key contribution	Provides an ideal field-scale validation of the Agarwal recovery method under favorable test conditions	Confirms that the Agarwal method remains effective even in highly transmissive environments with discharge variability	Demonstrates that recovery analysis can be applied to deep CO₂ storage aquifers with multiphase and operational complexities

5. 결론 및 제언

본 보고는 Agarwal 분석법을 활용한 암반 양수-회복시험 연구사례들을 종합적으로 검토하고, 복잡하고 제한적인 현장 조건에서 획득한 수리시험 자료에 대한 적용 가능성과 해석 타당성을 평가하였다. 우선, 양수-회복시험의 기본 개념과 함께 Agarwal 분석법의 이론적 배경을 고찰하였으며, 회복곡선을 일정 양수율 조건 하의 등가 양수곡선으로 변환하여 해석하는 절차를 체계적으로 정리하였다. 아울러, 이 분석법의 수학적 기반과 정량적 성능에 대한 평가를 수행하여 그 이론적 타당성을 검토하였다. 이후 실제 현장에서 수행된 회복단계의 압력 회복 자료에 Agarwal 분석법을 적용하여, 대표적인 수리상수를 산정하고 지하수 유동 패턴을 분석한 다양한 국외 연구사례들을 제시하였다. 이를 통해 암반대수층의 수리개념모델 설정 및 해석 과정에서 본 해석법이 실질적으로 기여할 수 있는 방안을 구체적으로 논의하였다. 또한 Agarwal 분석법의 정량적 분석 역량뿐만 아니라 다양한 수리·지질 환경 조건에서의 실무 적용 가능성과, 해석 시 유의해야 할 한계 및 고려사항에 대해서도 다각적으로 검토하였다(Table 2).

Table 2.

Practical checklist for applying the Agarwal method

Stage	Key checklist items
Test design / Assumptions	· Ensure sufficiently long pumping duration (semi-log straight line / derivative plateau achieved) · Confirm dominance of radial flow (check for non-radial or linear flow behavior) · Avoid excessive observation-well distance (large characteristic time → early-time errors)
Data quality / Field operation	· Recovery data should be continuous and low-noise · Clearly define pumping shutoff time (tₚ) (caution for air-lift pumping or residual discharge) · Control and document external disturbances (nearby pumping activities, operational interruptions)
Variable rate / Non-ideal conditions	· For variable discharge, apply equivalent-time correction accounting for pumping-rate fluctuations (do not ignore rate changes) · Evaluate boundary effects (no-flow, constant-head, leaky boundaries) using derivative diagnostics · Diagnose wellbore storage, skin effects, dual-porosity response, and delayed yield behavior
Interpretation / Validation	· Verify physical consistency of the transformed recovery curve (avoid abnormal or negative responses) · Use diagnostic plots (drawdown + log-derivative) to identify the conceptual flow model first · Cross-check results with pumping-phase interpretation or alternative recovery methods whenever possible
Reporting / Documentation	· Explicitly state applicability conditions and limitations (pumping time, well spacing, flow regime) · Link uncertainty sources (gas effects, wellbore storage, boundaries, variable discharge) to interpretation results

본 보고는 Agarwal 분석법이 암반대수층의 수리특성 정량화 및 유동 개념모델 진단에 효과적으로 기여할 수 있는 해석 도구임을 실증적으로 제시하였으며, 향후 보다 다양한 유동 조건과 암반 환경을 대상으로 Agarwal 분석법의 확장성과 적용 가능성을 제시하는데 의의를 가진다.

Acknowledgements

본 연구는 한국지질자원연구원의 국가연구개발사업인 산업통상자원부 재원으로 한국에너지기술평가원(KETEP) ‘고준위방폐물 처분을 위한 부지환경 장기변화 예측기술 개발(RS-2024-00419276)’ 사업의 일환으로 “시나리오 기반 한반도 지질환경 장기변화 개념모델 개발(RS-2024-00423505)” 연구과제(과제코드 : NP2024-038, 계정번호 : 26-4879)의 지원을 받아 수행되었으며, 또한 기본사업 “고준위방사성폐기물 처분부지 적합성 평가를 위한 균열암반 특성화 및 모델링 핵심기술 개발(과제코드 : GP2025-018, 과제번호 : 26-3112)” 의 지원을 받아 수행되었습니다.

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Tunnel and Underground SpaceISSN:1225-1275(Print) 2287-1748(Online)한국암반공학회

Preview

Evaluation of Analysis Approaches for Recovery Data Following Pumping Tests in Fractured Rock

ABSTRACT

MAIN

Fig. 1.

Drawdown and drawdown residual as a consequence of a pumping test carried out applying a variable pumping rate. The pumping rate decreases with time, becoming constant for a while after pumping shutdown (Trabucchi et al., 2018)

(1)

(2)

Fig. 2.

Drawdown of pumping and recovery phases (Trabucchi et al., 2018)

(3)

(4)

(5)

Fig. 3.

Diagnostic plots representing recovery test interpretation in an ideal Theis aquifer for three different pumping durations using Agarwal recovery method. The ideal pumping test solution(Theis) is shown as reference (Trabucchi et al., 2018)

Fig. 4.

Diagnostic plots representing recovery test interpretation under non-ideal conditions. Three different pumping times have been analyzed applying Agarwal method. The analytical solution for pumping is shown as a reference (Trabucchi et al., 2018)

(6)

Fig. 5.

Diagnostic plots obtained from recovery data after pumping an ideal Theis aquifer at a variable rate condition. Three different values of Rt have been analyzed. The plots have been obtained both assuming constant pumping rate (above) and variable pumping rate (below) (Trabucchi et al., 2018)

Fig. 6.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for hydraulic characterization of a radioactive waste disposal site (Trabucchi et al., 2018)

Fig. 7.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for the design of a dewatering system during deep excavation (Deng et al., 2025)

Fig. 8.

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for the evaluation of residual CO2 trapping characteristics (Martinez-Landa et al., 2021)

Table 1.

Comparison of three field case studies applying the Agarwal method

Table 2.

Practical checklist for applying the Agarwal method

Acknowledgements

References

Diagnostic plots obtained from recovery data after pumping an ideal Theis aquifer at a variable rate condition. Three different values of $R_{t}$ have been analyzed. The plots have been obtained both assuming constant pumping rate (above) and variable pumping rate (below) (Trabucchi et al., 2018)

Case study on the application of the Agarwal recovery method to pumping–recovery tests for the evaluation of residual CO₂ trapping characteristics (Martinez-Landa et al., 2021)