1. 서론

다양한 규모의 절리성 암반에서 유체의 유동 특성에 관한 연구는 암반공학 분야의 중요한 과제 중 하나이다. 단일 절리와 같은 작은 규모에서 유체의 흐름은 전통적인 연속체 해석법에 의하여 연구하는 것이 보편적이다. 다수의 절리가 분포하는 경우가 대부분인 현장규모 조건에서는 DFN(discrete fracture network) 유동모델을 이용한 흐름 해석이 더욱 합리적인 결과를 도출할 가능성이 높지만 이에는 고도의 전산 시스템이 뒷받침 되어야 한다. 더불어 시간과 비용을 고려할 때 절리성 암반에 대하여 등가의 수리상수를 사용한 연속체 모델이 적용 가능하다면 이는 DFN 유동모델을 대체할 수 있는 가장 적합한 수단이 될 수 있다(Han, 2016).

절리성 암반에서 유체의 흐름을 연구할 때 고려해야하는 여러 가지 중요한 요소 중 하나는 절리연결망이 전통적인 수리수문학에서의 다공성 매질과 유사하게 취급될 수 있는지 여부이다. 즉, 절리연결망 시스템에 대하여 등가의 수리상수에 의한 연속체 모델을 수립하고 초기 및 경계 조건을 부여하여 유체유동 해석을 수행할 수 있는지에 대한 논의는 그동안 관련 분야의 많은 연구자들의 관심을 이끌었다.

Snow(1965)는 절리 시스템에 대한 연구를 수행하여 고정 좌표계에서 임의의 방향성과 간극을 갖는 무한 길이의 단일 절리에 대한 수리전도도텐서를 수학적으로 표현하였으며 절리연결망에 대한 수리전도도텐서는 개별 절리로부터 얻은 수리전도도텐서 성분의 합으로 결정하였다. 실제 현장의 절리는 유한의 연장성을 갖으며 주위의 다른 절리와 연결되어야만 유체의 유동 통로로 작용할 수 있으므로 절리연결망의 수리전도도텐서를 단순히 개별 절리의 수리전도도 성분의 합으로 정의하기에는 무리가 있다. Rocha and Franciss(1977)는 Snow (1965)의 해석 기법을 보정하는 경험적인 현장 기법을 제안하였지만 절리의 기하학적 속성을 고려하지 못하였다. Long et al.(1982)은 불연속 절리 시스템에서 절리의 빈도가 증가할수록, 수리간극의 변화가 작을수록, 방향성의 변화가 클수록, 해석영역이 커질수록 절리성 암반을 등가의 다공질 매질로 취급할 수 있는 가능성이 높다고 보고하였다. 저자들은 선행연구(Han and Um, 2015, 2016)를 통하여 해석영역의 크기 및 절리의 방향, 빈도, 길이, 수리간극 등의 기하학적 속성 변화가 이차원 DFN의 수리적 특성에 미치는 영향을 평가하고 DFN의 이방성 및 등가연속체 취급 가능성을 논의하였지만 현장 적용을 위한 정량적인 가이드라인을 제시하지 못한 실정이다.

본 연구는 DFN 블록에 대한 연속체 해석 조건 및 방법의 가이드라인을 마련하기 위하여 다양한 기하학적 속성을 갖는 DFN 블록에 대하여 DFN 유동모델과 등가의 수리상수를 사용한 연속체 모델을 적용하여 두 결과 간의 상관성을 평가하였다. 또한, 현장 적용성을 파악하기 위하여 지중 공동에 대한 모의 수치실험을 수행하여 상기 두 접근법에 의한 원형공동 내부로의 유입량을 비교하고 절리의 기하학적 조건에 따른 연속체 해석 결과를 고찰하였다.

2. DFN에 대한 연속체 유동모델

본 연구는 이차원 DFN 블록을 통과하는 유체의 흐름을 평가하기 위해서 절리의 기하학적 속성 변화에 따른 이방적 등가수리상수를 사용하여 연속체 유동모델에 의한 수치실험을 수행하였다. 수치실험에서 사용한 DFN의 기하학적 속성은 선행연구(Han and Um, 2015)의 조건과 동일하다. 절리군의 방향 조합은 이차원에서 두 절리군 트레이스 선주향 사이의 교차각이 90°, 60°, 30° 등을 이루도록 세 그룹으로 구분하고 각각의 방향 그룹에서 빈도는 2개/m²/set 또는 4개/m²/set, 길이는 평균(0.8-2 m) 및 변동계수(0.75-2)의 변화에 따른 감마분포, 수리간극은 0.1 mm 이다(Han and Um, 2015). Table 1은 두 개의 절리군을 사용하여 절리군의 빈도와 길이분포를 달리하는 총 18개 DFN 시스템을 요약하였으며 선행연구에서 DFN 유동모델로 추정한 ER 값도 수록하였다(Han and Um, 2015). ER은 DFN에 대하여 방향에 따른 이론적 블록수리전도도와 DFN 유동모델로 산정한 블록수리전도도 사이의 상대오차이다. 여기서 이론적 블록수리전도도는 매질을 다공질, 이방 연속체로 가정하고 대수학적으로 산정한 수리상수이다(Oda, 1985). 따라서 ER은 0에서 1까지의 범위이며 0에 가까울수록 DFN 블록이 등가의 연속체 특성을 가질 가능성이 높지만 DFN에 대한 연속체 해석을 수행하기 위한 ER 값의 기준은 아직 명확하게 제시되지 못한 실정이다. 본 연구는 DFN에 대한 연속체 해석을 수행하고 ER 값을 기준으로 DFN 유동모델에 의한 선행연구(Han and Um, 2015)의 결과와 비교·분석하였다. DFN 유동모델에 관련된 세부적인 내용은 저자의 선행연구에 자세히 수록되어 있다(Han and Um, 2015).

불균질(heterogeneous), 이방(anisotropic) 매질에서 Darcy의 법칙을 따르는 이차원 연속체 유체 유동 지배방정식은 정상류(steady-state flow) 조건에서 수리전도도텐서 K의 최대 및 최소 주성분 방향이 x-y 좌표계와 일치할 경우 다음과 같이 표현할 수 있다.

    (1)

식 (1)과 같은 미분방정식의 해를 구하기 위하여 경계에서 수두가 정의되는 Dirichlet 또는 흐름량(또는 수리경사)이 주어지는 Neumann 경계조건이 필요하며 대부분의 경우 수치해석 방법을 적용하는 것이 보편적이다. 본 연구에서는 Galerkin 방법으로 유한요소해석을 수행하는 SEEP/W 상용 소프트웨어를 활용하여 DFN 블록에 대한 연속체 유동해석을 수행하였다.

연속체 유동해석을 위한 DFN 블록의 크기는 선행연구에서와 같이 Table 1에 나타난 18개의 DFN 시스템에서 각각 5 m x 5 m, 10 m x 10 m, 15 m x 15 m, 20 m x 20 m 4개를 설정하였으며 총 72개(18 x 4)의 DFN 블록을 대상으로 연속체 유동해석이 수행되었다. Fig. 1은 해석영역의 경계조건을 나타낸 모식도이다. DFN 블록의 좌우경계는 정수두(H₁=10 m 및 H₂=5 m)이며 상하경계는 H₁에서 H₂ 까지 선형으로 감소한다(Han and Um, 2015). 매질의 물성치로 사용한 이방의 수리전도도는 선행연구(Han and Um, 2015)의 DFN 유동해석으로 산정한 블록수리전도도텐서로부터 결정된 최대(K₁₁) 및 최소(K₂₂) 주 수리전도도의 크기와 방향이다.

Fig. 1.

The scheme of the numerical analysis to determine the flow quantity (Q_C) at the lower head boundary

3. DFN 유동모델 vs. 등가연속체 유동모델

Fig. 2는 Table 1의 총 72개 DFN 블록에 대한 연속체 유동해석과 DFN 유동해석을 수행하여 DFN 블록의 오른쪽 경계에서의 유량을 비교할 수 있도록 각각의 방법에 의한 결과를 도시한 그래프이다. 그래프의 x축은 DFN 유동해석으로 산정한 유량(Q_D)이며 y축은 연속체 유동해석으로 산정한 유량(Q_C)이다. 두 접근법에 의한 결과가 더욱 일치할수록 추세선의 기울기 및 결정계수(R²)는 더욱 1에 근접하게 된다. Fig. 2(a)는 모든 DFN 블록에서의 결과를 함께 도시한 것인데, 추세선의 기울기 및 R²가 각각 0.9929 및 0.9904로 1에 근접하여 두 방법에 의한 결과가 매우 유사함을 알 수 있다. 그러나 이와 같은 결과는 총 72개의 비교적 많은 자료 개수에 의한 것이며 ER 값의 범위를 세분하여 결과를 고찰할 필요가 있다.

Fig. 2(a)에서 삼각형으로 나타낸 ER 값이 0.2 이상에서의 결과는 절리의 빈도가 낮고(d=2/m²/set) 평균길이가 가장 짧으며(micro=0.8 m) DFN 블록의 크기가 15 m x 15 m 까지의 DFN 블록에 대한 경우가 대부분인데, 이들 DFN 블록을 통한 유출량이 상대적으로 매우 작아서 두 방법에 의한 상대적인 차이가 그래프 상에서 인지하기 어려울 수 있다. Table 2는 DFN 유동해석에서 산정된 ER 값의 범위에 따라 0∼0.1, 0.1∼0.2, 0.2 이상의 세 그룹으로 구분하여 두 접근법 간의 상관성을 요약하였다. 세 그룹 모두 선형 추세선의 기울기는 1에 근사하지만 ER 범위의 증가에 따라 R²가 낮아짐을 확인할 수 있으며 ER 값이 0.2 이상의 그룹에서 0.8428로 상관성이 가장 낮게 나타났다. 이는 DFN 블록의 ER 값이 0.2 이상인 경우 등가수리상수를 사용한 연속체 해석이 적합하지 않을 수 있음을 지시한다. Fig. 2(b)는 DFN 블록의 크기가 20 m x 20 m인 경우 두 방법에 의한 결과를 나타낸 그래프이다. DFN3-1을 제외한 모든 경우에서 ER 값은 0.2 이하이며 추세선의 기울기 및 R²는 각각 0.9759 및 0.9969로 1에 매우 근접한 값을 갖는다. 이는 본 연구의 DFN 시스템에서 20 m x 20 m 크기가 REV(Representative Element Volume)로 적합할 수 있음을 시사한다.

Fig. 2.

Flow quantities obtained from DFN (Q_D) and continuum (Q_C) flow model; (a) for all DFN blocks in Table 1 and (b) for 20 m x 20 m DFN blocks

실제 현장의 절리성 암반은 절리의 수리간극이 변동성을 수반하는 경우가 대부분이므로 저자들은 수리간극의 변동성을 고려한 DFN 유동해석을 통해 유체의 유동해석을 수행하는 것이 더욱 현실적인 결과를 도출 할 수 있을 것으로 판단하고 있다. 그러나 비용과 시간의 제약을 고려한다면 연속체 해석이 가능한 수리간극의 조건에 대한 연구가 중요한 의의를 가질 수 있다. 본 연구에서는 선행연구(Han and Um, 2016)와 동일하게 절리의 수리간극이 절리군에 따라 서로 다른 일정한 값을 갖는 경우(CASE 1)와 확률분포 특성을 갖는 경우(CASE 2)로 구분하여 연속체 유동해석을 수행하고 그 결과를 앞에서와 같은 방식으로 선행연구의 DFN 유동해석 결과와 비교하였다. CASE 1은 한 절리군(SET2)의 수리간극(0.1 mm)에 비하여 다른 절리군(SET1)의 수리간극이 1, 2, 5 배로 증가하는 경우이고, CASE 2는 두 절리군의 수리간극이 평균=0.1 mm, 표준편차=0.0∼0.1 mm의 대수정규 분포를 갖는 경우이다(Han and Um, 2016). 본 연구에서는 수리간극의 변화에 따른 유체유동 해석 결과를 비교하기 위하여 DFN 시스템에서 수리간극 외에 절리의 빈도, 길이 등의 기하학적 속성은 모두 동일하게 설정하였다. 본 연구의 REV로 취급할 수 있는 20 m x 20 m 크기의 DFN 블록에서 절리군 교차각은 90°, 60°, 30° 세 그룹으로 구분하고 절리의 빈도는 절리군 당 2개/m², 길이는 평균=1.5 m, 표준편차 = 2.0 m의 감마분포로 설정하였다. Table 3과 Table 4는 각각 CASE 1과 CASE 2의 DFN 시스템에 대한 입력변수와 더불어 선행연구에서 DFN 유동해석을 통해 산정된 ER 값, 이방등가수리전도도(K₁₁, K₂₂)의 크기 및 방향을 수록하였다(Han and Um, 2016).

Fig. 3은 Table 3과 Table 4의 총 18개 DFN 블록에서 연속체 유동해석에 의한 유출량(Q_C)과 DFN 유동해석에 의한 유출량(Q_D)을 ER 값에 따라 두 그룹으로 구분하여 그래프에 도시한 것이다. 전체 자료에 대한 추세선은 R²가 0.9965로 두 방법 간의 상관성이 매우 높게 평가되었지만 기울기가 0.8656으로 Q>_C>는 Q_D의 약 87% 정도로 산정되었음을 알 수 있다. Table 5는 ER 값에 따른 상관관계를 수록한 것인데, ER 값이 비교적 높은 경우에 두 결과 간의 차이가 더욱 증가하였음을 확인할 수 있다. 참고로 앞의 수치실험 결과로부터 등가수리상수를 사용한 연속체 해석이 적합한 ER 값의 범위는 0.2 이하이지만, 여기서는 추세식을 얻기 위한 자료의 개수를 고려하여 ER 값 0.1을 기준으로 결과를 구분하였다. ER 값이 0.1 이하인 그룹은 추세선 기울기가 0.9599이고 R²가 0.9970으로 연속체 해석과 DFN 유동해석의 결과 사이의 상관성이 매우 크다 할 수 있기에 등가수리상수를 사용한 연속체 해석이 가능하다고 판단된다. 그러나 ER 값이 0.1을 넘는 그룹(대부분 0.2 이상)에서 R²가 1에 근접한 상관성을 나타내지만 추세선 기울기가 0.8629로 연속체 해석과 DFN 유동해석의 결과 간에 유의미한 차이가 존재함을 확인할 수 있다. 특히, DFN1-LN3, DFN2-LN3, DFN3-LN3과 같이 수리간극의 표준편차가 상대적으로 높아서 비교적 큰 수리간극을 갖는 절리가 분포하며 이에 따라 ER 값이 높게 산정된 DFN 시스템은 연속체 유동해석 모델이 현실적이지 못할 가능성이 크다고 사료된다.

Fig. 3.

Flow quantities obtained from DFN (Q_D) and continuum (Q_C) flow model for all DFN blocks in Table 3 and Table 4

4. 지중 공동 모의 수치실험

치밀한 결정질의 절리성 암반에 위치한 지중 공동에서 지하수의 유입은 절리를 통해 이루어지는 것으로 가정할 수 있다. 현재 현장의 지중 공동에 대한 지하수의 유입을 평가하기 위하여 연속체 유동해석을 적용하는 경우가 대부분이지만 DFN 유동해석 결과와의 차이에 대해 고찰할 필요가 있다. 본 연구에서는 절리성 암반에 대한 등가수리상수를 사용한 연속체 유동해석의 현장 적용성을 검토하기 위해서 지중 공동에서의 지하수 유입에 대한 모의 수치실험을 수행하였다.

해석영역의 크기는 본 연구의 DFN 시스템에서 REV로 취급할 수 있는 20 m x 20 m 블록이다. 다양한 규모의 지중 공동을 고려하기 위해 20 m x 20 m 블록 중앙에 직경 1 m, 2 m, 4 m, 6 m의 원형공동을 설정하였으며 공동 경계에서 경계조건은 H=0, 그리고 해석영역의 경계조건은 앞에서의 수치실험과 동일하게 Fig. 1에서와 같이 부여하였다. 해석에 사용된 DFN 블록은 수리간극이 모두 일정한 경우를 고려한 Table 1의 3개 DFN 블록(DFN1-3, DFN2-3, DFN3-3)과 절리군 별로 서로 다른 수리간극을 고려한 Table 3의 9개 DFN 블록이다. 이와 같이 총 12개의 DFN 조건에 각각 4 개의 원형공동 크기를 고려한 총 48개의 원형공동에 대하여 공동 내부로의 지하수 유입량이 각각 DFN 유동모델과 등가수리전도도를 사용한 연속체 유동모델에 의하여 산정되었다.

지중 공동 모의 수치실험에서의 DFN 블록은 모두 ER 값이 0.2 이하로 등가수리상수에 의한 연속체 유동해석이 가능한 조건이다. Fig. 4는 Table 3의 DFN1 조건에서 D1에서 D5까지 두 절리군의 수리간극 비가 1, 2, 5로 증가하는 경우 각각의 DFN 시스템에서 30° 간격으로 방향에 따라 산정된 블록수리전도도 k^(p) 값과 등가연속체로 가정한 이론적 값을 그래프에 도시한 것이다. 또한, 블록수리전도도텐서로부터 결정된 K₁₁ 및 K₂₂의 크기와 방향이 동 그림에 포함되어 있다. 두 수리간극의 비가 1로 두 절리군의 수리간극이 동일한 경우(Fig. 4(a)) 방향에 따른 k^(p) 값과 값은 거의 일치함을 알 수 있다. 이에 따른 상대오차 ER 값은 0.0168(Table 3)이며 K₁₁과 K₂₂의 크기는 거의 같은 등방의 수리전도 특성을 나타낸다. 수리간극의 비가 2인 경우(Fig. 4(b))에도 k^(p) 값과 값은 거의 일치하여 ER 값은 0.0231의 매우 낮은 값을 갖지만 K₁₁과 K₂₂의 크기는 이방적 연속체 특성을 보여준다. 수리간극의 비가 5인 경우(Fig. 4(c))에는 k^(p) 값과 값의 차이가 발현되어 ER 값이 0.1179로 증가하였음을 확인할 수 있고 이방성 역시 더욱 증대되었음을 알 수 있다. Fig. 5는 지중 공동 모의 수치실험에 사용된 Table 3의 DFN1-D1에 대한 DFN 유동모델(Fig. 5(a))과 DFN 블록으로부터 산정한 K₁₁과 K₂₂의 크기와 방향(Fig. 4(a))을 적용한 연속체 유동모델(Fig. 5(b))의 예시이다.

Fig. 6은 Table 1의 DFN1-3, DFN2-3, DFN3-3 블록에서 각각 4가지 규모의 원형공동을 설정한 총 12회의 DFN 유동해석과 연속체 유동해석 결과를 비교한 그래프이다. 그래프의 x축은 DFN 유동해석으로 산정된 원형공동 내부로의 지하수 유입량(Q_TD)이며 y축은 등가수리상수에 의한 연속체 유동해석으로 산정된 지하수 유입량(Q_TC)이다. 두 접근법을 사용한 수치실험 결과를 비교하였을 때 추세선의 기울기는 1.1038, R²는 0.9535로 산정되어 Q_TC와 Q_TD 사이의 상관성이 매우 높다고 할 수 있지만 연속체 유동해석 결과가 DFN 유동해석 결과에 비하여 10% 정도 높게 평가되었음을 알 수 있다. 이는 지중 공동에 대한 지하수 유입 평가 시 ER 값이 0.2 이하인 경우 절리성 암반에 대한 연속체 유동해석이 어느 정도 타당할 수 있음을 의미한다. 본 연구의 공동 규모는 해석 결과에 유의미한 영향을 미치지 않는 것으로 판단된다.

Fig. 7은 Table 3의 절리 기하학적 속성을 갖는 9개의 DFN 블록에 대하여 각각 4가지 규모의 원형공동을 포함하는 총 36개 블록에서 수행한 수치실험 결과를 두 절리군의 수리간극 비를 기준으로 분류하여 도시한 것이다. 두 절리군의 수리간극이 같은 경우(Fig. 7(a)) 추세선의 기울기는 1.0524, R²는 0.9535로 앞에서와 같이 Q_TC와 Q_TD 사이에 선형의 강한 상관관계를 나타내며 DFN 유동해석과 연속체 유동해석 간에 유의미한 차이를 보이지 않는다. 한 절리군의 수리간극이 다른 절리군에 2배인 경우, 즉, 수리간극의 비가 2인 경우(Fig. 7(b)) 추세선의 R²는 0.9539로 Q_TC와 Q_TD 사이에 선형의 강한 상관관계를 보이지만 추세선의 기울기가 1.1881로 QTC가 QTD 보다 약 1.2배 높게 산정되었다. 또한, 수리간극의 비가 5인 경우(Fig. 7(c))에는 추세선의 기울기가 2.03으로 QTC가 QTD 보다 2배 정도 높게 과대평가되었음을 알 수 있다. 이와 같은 결과는 두 절리군 간의 수리간극 차이로 인한 이방적 수리전도 특성이 DFN 유동해석과 연속체 유동해석 간의 결과에 영향을 미칠 수 있음을 의미한다. 이는 DFN 유동모델에서 공동 형상과 관련하여 서로 다른 수리간극을 갖는 개별 절리와 공동 경계가 교차하는 지점의 노드(node) 분포가 총 지하수 유입량에 영향을 미치지만 연속체 해석에서는 공동 경계를 이루는 모든 요소에서 주 수리전도도가 작용하기 때문인 것으로 판단된다. 그러나 두 접근법 사이에는 강한 상관관계가 존재하므로 공동 형상에 따라 보정계수를 도입하는 방안에 관한 추가적인 연구가 유효할 수 있다고 사료된다.

Fig. 4.

Calculated directional conductivity, k^(p), (m/s) and theoretical directional conductivity, , (m/s) in different flow directions for the selected DFN systems of Table 3; (a) aperture ratio=1, (b) aperture ratio=2 and (c) aperture ratio=5 (after Han and Um, 2016)

Fig. 5.

Examples of the numerical analysis to estimate tunnel inflow for DFN1-D1; (a) DFN fluid flow model and (b) continuum fluid flow model

Fig. 6.

Tunnel inflow obtained from DFN (Q_TD) and continuum (Q_TC) flow model for DFN1-3, DFN2-3 and DFN3-3

Fig. 7.

Tunnel inflow obtained from DFN (Q_TD) and continuum (Q_TC) flow model for DFN blocks in Table 3; (a) aperture ratio=1, (b) aperture ratio=2 and (c) aperture ratio=5

5. 결론

본 연구는 절리성 암반에 대한 연속체 유동해석의 조건을 파악하기 위하여 다양한 기하학적 속성을 갖는 이차원 DFN 블록에 대하여 DFN 유동모델과 등가의 수리상수를 사용한 연속체 유동모델을 적용하여 두 접근법 간의 상관성을 평가하였다. 치밀한 결정질의 절리성 암반에서 연속체 유동해석이 가능한 조건은 해석영역의 크기가 REV 이상이며 DFN을 연속체로 가정한 이론적 블록수리전도도와 DFN 유동모델로 산정한 블록수리전도도 사이의 상대오차(ER)가 0.2 이하인 경우이다. DFN을 구성하는 개별 절리에 대한 수리간극의 변동성이 증대되면 ER 값도 증가하지만 ER 값이 0.2 이하인 경우 DFN 유동해석과 연속체 유동해석 결과 간에 높은 상관성을 유지한다.

등가수리상수를 사용한 연속체 유동해석의 현장 적용성을 검토하기 위하여 지중 공동에서의 지하수 유입에 대한 모의 수치실험이 수행되었다. 개별절리의 수리간극이 일정하고 ER 값이 0.2 이하인 경우에는 두 접근법 간에 상관성이 높게 평가되었으며 절리성 암반에 대한 등가연속체 유동해석이 가능할 것으로 판단된다. 절리군 간의 수리간극 차이가 증가하여 이방성이 증대되면 ER 값이 0.2 이하를 유지해도 연속체 유동모델에 의한 지하수 유입이 DFN 유동모델에 의한 결과에 비하여 과대평가될 가능성이 높다.

DFN 유동모델의 적용성과 타당성을 향상시키기 위해서는 추후 수리특성 측정 자료가 존재하는 현장을 모델링 하여 비교를 하는 과정이 필요하며 이를 통하여 DFN 매질에 대한 연속체 유동모델의 적용성이 더욱 심도 있게 평가될 수 있다고 판단된다. 더불어 본 연구는 이차원 해석 결과에 기초한 것이며 삼차원 해석을 위한 요소이론 및 업스케일링 기법에 관련된 체계적인 연구가 추진되어야한다.