Technical Note

Tunnel and Underground Space. 31 December 2022. 464-477
https://doi.org/10.7474/TUS.2022.32.6.464

ABSTRACT


MAIN

  • 1. 서 론

  • 2. DFN 모델링 방법론

  •   2.1 주요 가정

  •   2.2 개념 모델

  • 3. 암반균열망의 공간적 분포 특성을 고려한 DFN 모델링

  •   3.1 암반균열망의 공간적 분산

  •   3.2 균열 간의 공간적 상관성

  •   3.3 기존 DFN 모델링 기법의 한계점 및 추후 연구

  • 4. 결 론

1. 서 론

암반의 열-수리-역학적 거동 분석에 있어, 암반 내에 존재하는 절리 및 단층(이하 통칭하여 “균열”)은 유체의 주요한 유동 경로로 작용함과 동시에 암반의 강도 및 변형 특성을 크게 좌우할 수 있어 필수적으로 고려되어야 하는 요소이다(Min and Stephansson, 2011). 암반 균열의 모사 기법은, 시추공 등의 조사 자료에서 관측된 균열의 위치, 크기, 방향, 형태와 같은 분포 특성을 직접적으로 모사하는 결정론적(deterministic) 방법과 현장 조사를 통해 추정된 균열의 통계적 분포 특성을 활용하여 암반균열망 모델을 구성하는 추계학적(stochastic) 방법으로 크게 분류된다. 일반적으로 소규모 암반의 해석 및 단층면과 같은 지배적인 균열의 영향을 고려할 경우 결정론적 방법이 사용될 수 있으나, 대규모 암반 및 다양한 절리군의 상호 영향을 고려해야 하는 경우 추계학적 방법의 사용이 보다 적합한 것으로 알려져 있다(Kulatilake et al., 1993).

DFN (discrete fracture network, 불연속균열망) 모델은 암반 내 균열망을 모사하기 위해 활용되는 대표적인 추계학적 불연속암반 모델이다. DFN 모델링은 균열의 통계적 분포 특성에 기초하여 불연속면의 최적 분포함수를 결정하고, 분포함수에 따라 실제 암반의 수리-역학적 특성을 반영하는 불연속암반 모사체를 생성하는 것에 중점을 두고 있다(Park et al., 2015, Park et al., 2019). DFN 모델은 암반 내 균열의 다양한 지질학적 특성을 종합적으로 반영하기에 용이하며, 불연속적인 균열 특성에 대한 균질화(homogenization) 과정이 필요하지 않아 균열 분포를 직접적으로 고려하기 용이하다는 장점이 있어(Davy et al., 2018) 불연속암반의 수리-역학적 거동 특성 규명을 위한 다양한 연구에 활용되고 있다. 예를 들어, Ryu et al.(2020)은 3차원 DFN 모델에서 균열의 기하학적 분포 특성이 암반 강도 및 변형 이방성에 미치는 영향을 분석하였으며, Min and Stephansson(2011)은 스웨덴 포쉬마크(Forsmark) 지역의 방사성폐기물 처분장 부지에 대해 DFN-DEM 해석 모델을 적용하여 암반의 초기응력이 불연속암반의 수리-역학적 특성에 미치는 영향을 분석하였다. Park et al.(2007)은 굴착손상영역(Excavation Damaged Zone, EDZ)에서 발생하는 수리적 간극 변화로 인한 지하수 유입량 변동 분석을 위해 3차원 DFN 모델을 활용하였으며, Ren et al.(2017)은 불연속성이 높은(highly fractured) 암반에서의 수리적 유동 해석을 위한 개선된 DFN 모델링 기법을 제안하였다.

이와 같이 DFN 모델은 다양한 불연속암반의 수리-역학적 거동 해석 연구에 활용되고 있으나, 방사성폐기물 심층처분장에서의 불연속암반 거동 해석과 같이 대규모 영역을 대상하거나 높은 신뢰성을 갖춰야 하는 DFN 모델링이 요구됨에 따라, 이전에는 고려되지 않았던 암반균열망의 공간적 분포 특성인 공간적 분산(spatial variability)과 균열 간의 공간적 상관성(spatial correlation)을 합리적으로 재현하는 DFN 모델링이 대두되고 있다(Selroos et al., 2022). 일반적으로 DFN 모델의 기하학적 모델링 과정은 시추공, 터널면, 노두, 지표면 등에서 획득한 조사 자료들을 통합하여 균열의 통계학적 분포 특성을 도출하고, 이에 따라 구축된 DFN 모델과 현장 암반균열망 간의 정합성 비교를 수행하는 과정을 거쳐 이루어진다. 이때 대규모의 암반 영역을 대상으로 하여 단층대와 같은 변형대(deformation zone)이 존재하거나 여러 암종이 혼재하는 경우, 제한된 조사 자료를 활용하여 암반 영역을 유사한 균열 분포 특성을 가지는 영역(domain)별로 분할하여 DFN 모델을 도출해야 한다고 알려져 있다(Darcel et al., 2013, Selroos et al., 2022). 또한 서로 다른 DFN 모델링 기법 – 포아송(Poisson) 분포 기반의 모델링과 발생학적(genetic) 모델링 - 을 설정하여 생성한 DFN 구조를 실제 현장 데이터와 비교한 결과, 암반균열망의 균열 간 공간적 상관성에 따라 밀도 분포(Davy et al., 2018) 및 균열망 간의 연결성(Maillot et al., 2016) 등에서 불일치가 발생하는 사례가 보고되었다.

Selroos et al.(2022)은 스웨덴의 포쉬마크 방사성폐기물 심층처분장 부지의 안정성 분석을 위한 DFN 모델링의 방법론과 관련 이슈를 정리·분석하였다. 해당 보고서는 부지 암반의 지질학적 특성 도출에서부터 암반 내 균열망의 기하학적 분포 추정, 암반균열망의 역학적 물성 및 유체 유동 특성 결정, DFN 모델 검증에 이르기까지 DFN 모델의 현장 적용을 위한 모델링 방법론의 전과정을 다루고 있다. 본 고에서는 해당 보고서에서 제시된 DFN 모델의 기하학적 모델링 부분에 집중하여, DFN 모델링에서의 주요 가정, 개념 모델(conceptual model)과 균열 밀도 분포함수(fracture density distribution) 및 이를 활용한 모델링 방법론을 정리하고, 암반균열망의 공간적 분포 특성의 유형과 이를 DFN 모델에 반영하기 위한 모델링 기법들을 소개하고자 한다.

2. DFN 모델링 방법론

2.1 주요 가정

DFN 모델에서의 균열은 대상 암반의 규모, 분석 대상이 되는 암반 거동의 복잡도 등을 고려하여 형상을 단순화시킨 판 형태의 객체로서 표현한다. 판형 객체로 균열을 표현하면서 도입하는 주요 가정들은 다음과 같다(Selroos et al., 2022).

(1) 균열의 간극(aperture) 크기는 균열의 면 방향(lateral) 크기에 비해 매우 작다.

(2) 균열의 요철(unevenness) 및 만곡(waviness)은 균열의 면 방향 크기에 비해 매우 작다.

(3) 균열은 원형 혹은 종횡비(aspect ratio)가 작은 타원형 및 볼록다각형의 모양을 띄고 있다.

위 가정들에 따라 암반 균열은 두께가 없는 원판형(disk-shaped) 객체로 주로 표현하며, 균열의 간극, 거칠기 및 수리-역학적 물성들은 객체의 속성값으로서 부여하게 된다. 균열의 실제 형상은 파악하기 매우 어렵고 관련 연구도 제한적이기 때문에, 균열을 원형 판으로 단순화시켜 암반균열망을 구성하는 것이 일반적이다(Selroos et al., 2022). 일부 연구에서는 단층(fault)의 경우 2:1에서 3:1의 종횡비를 띤다고 보고한 바 있으나(Rippon, 1985, Walsh and Watterson, 1988), 절리(joint)의 경우에는 원형으로 주로 가정한다. Selroos et al.(2022)의 SKB 보고서에서는 스웨덴의 포쉬마크와 라스마르(Laxemar) 부지 조사에서 균열의 형상이 원형이 아닌 타원형임을 뒷받침할만한 지질학적 근거가 불충분하며, 퇴적암의 경우에는 층리에 따른 이방성에 의해 균열이 타원형으로 존재할 수도 있으나 결정질 암반에서는 균열이 타원형으로 성장하도록 유도하는 역학적 요인이 없다고 판단하였다. 균열이 원형이 아닌 다른 형상을 가질만한 지질학적 및 역학적 근거가 없을 시에는, 균열망 특성화 및 분석이 용이하고 간편하다는 점 때문에 대부분의 DFN 모델링 관련 기초 이론(Barton, 1978, Priest, 1993) 및 연구(Dershowitz et al., 1979, Lee and Song, 2019, Park et al., 2015)에서는 원형의 균열 모델을 가정하고 있다. 단, 기하학적 형상이 잘 조사된 대규모 단층 혹은 균열은 조사된 형상을 DFN 모델에 직접 구현하는 것이 바람직하며, 필요에 따라서는 가정된 균열 형상에 대한 DFN 모델 거동의 민감도 분석이 요구될 수 있다.

2.2 개념 모델

DFN 모델링은 개념 모델의 구축으로부터 시작된다. 개념 모델은 암반모사 모델(medium model)의 구현 및 생성에 활용되는 기초자료로써, 암반 내부에 존재하는 균열의 개념적 및 통계적 분포 특성을 설명하는 모델이다(Davy et al., 2018). 개념 모델은 균열의 밀도, 길이 및 방향 등의 기하학적 특성과 함께 균열의 전단 강성, 수직 강성 및 유체 투과율 등 수리-역학적 물성들의 분포도 포괄하여 설명하며, 이외에도 균열의 분포 특성에 영향을 미치는 단층대의 존재 혹은 암상 변화 등과 같은 지질학적 구조에 대한 설명도 포함할 수 있다.

현장 조사 자료를 바탕으로 개념 모델을 체계적으로 구축하고 정리하기 위해 균열 밀도 분포함수(Selroos et al., 2022, Davy et al., 2018)라는 수학적 개념이 도입된다. 균열 밀도 분포함수는 특정한 균열 특성값을 가지는 균열들의 단위 부피당 개수를 정의한 함수로, 다음과 같이 표현할 수 있다.

(1)
n(P)=1VlimdP0NV(P)dP

여기서 P는 균열 특성을 표현하는 벡터(P=[l,θ,ϕ,u])로 균열 크기(l), 균열 방향(θ: 주향, ϕ: 경사) 및 이외의 다른 균열 특성(u: 간극, 거칠기, 유체 투과율 등)을 의미하며, NV(P)는 일정 암반 부피(V)에서 균열 특성이 P'[P,P+dP] : l'[l,l+dl], θ'[θ,θ+dθ], ϕ'[ϕ,ϕ+dϕ], u'[u,u+du]에 해당하는 균열들의 개수를 나타낸다. 따라서, 균열 밀도 분포함수를 일정한 균열 특성 범위에서 적분하게 되면 해당 범위에 포함되는 균열 밀도가 도출된다. 참고로 제시된 균열 특성 외에도 조사 영역의 크기 및 위치와 같은 균열 조사와 관련된 변수를 P에 포함하여 균열 밀도 분포함수를 표현할 수도 있다.

식 (1)은 균열 밀도 분포함수의 일반화된 표현으로, 통상적으로 관심 대상이 되는 균열 특성에 대해 식 (2)와 같이 축약된 형태로 균열 밀도 분포함수를 정의한다.

(2)
n(P1)=P2n(P1,P2)dP2

축약된 형태의 균열 밀도 분포함수의 예로, n(l)은 균열 크기에 따른 밀도 분포함수를 의미하며, n(θ,ϕ)는 균열 방향에 따른 밀도 분포함수를 의미한다. 이와 같이 특성별로 밀도 분포함수를 분리하면 여러 특성을 동시에 고려하는 것보다 개념 모델을 체계적으로 분석하고 해석할 수 있다는 이점이 있다. 또한, 특성별 밀도 분포함수가 독립적이라는 가정 하에서는, 통합된 형태의 균열 밀도 분포함수를 식 (3)과 같이 특성별 밀도 분포함수의 곱으로 표현할 수 있다.

(3)
n(l,θ,ϕ)=n(l)n(θ,ϕ)lθ,ϕn(l,θ,ϕ)dldθdϕ

균열 크기 분포(n(l))의 가정에는 주로 로그정규분포(Priest and Hudson, 1981, Zhang and Einstein, 2000), 지수분포(Cruden, 1977, Hudson and Priest, 1979) 혹은 멱함수분포(Evans et al., 1993, Darcel et al., 2006, Davy et al., 2010)가 사용되며, 균열 방향 분포(n(θ,ϕ))의 가정에는 주로 피셔분포(Fisher, 1953, Dershowitz et al., 1979)가 사용된다. 가정에 사용되는 균열 특성의 통계적 분포는 현장 조사 자료와의 정합성을 평가함으로써 선정하며, 현장 조사 자료에 해당 분포를 피팅(fitting)함으로써 최종적으로 균열 밀도 분포함수를 도출하게 된다.

균열 밀도 분포함수 및 현장 조사를 바탕으로 구축한 개념 모델은 현장 암반의 균열 분포 특성을 반영하는 암반모사 모델을 생성하는 데 활용된다. 암반모사 모델은 암반의 역학적 거동 및 암반 내 유체 거동에 대한 수치해석을 수행하는 대상으로, 개념 모델을 바탕으로 추계학적으로 생성한 DFN 모델이 암반모사 모델의 대표적인 예시이다. 이외에도 해석 시간을 줄이기 위해 균열 분포 특성을 DFN의 형태로 구현하기보다는, 분포 특성을 간접적으로 반영하는 등가연속체 암반 모델, 등가 유체 채널 모델 등의 암반모사 모델을 생성할 수도 있다(Selroos et al., 2022).

3. 암반균열망의 공간적 분포 특성을 고려한 DFN 모델링

DFN 모델을 생성하는 데 활용되는 균열 밀도 분포함수는 균열의 크기 분포와 방향 분포 등 균열 특성 자체의 통계적 분포는 잘설명하지만, 해당 통계적 분포를 따르는 균열들이 암반 내에 어떻게 공간적으로 분포하는지는 설명하지 못한다(Selroos et al., 2022). 따라서, 균열 밀도 분포함수만을 고려하여 DFN 모델을 생성하는 기존의 추계학적 DFN 모델링으로는 자연 및 현장에서 관찰되는 암반균열망의 공간적 분포를 재현하는 데에 한계가 있다. 암반균열망의 공간적 분포 특성은 크게 (1) 암반균열망의 공간적 분산과 (2) 균열 간의 공간적 상관성으로 나눌 수 있는데, 각각에 대한 정의와 이를 DFN 모델링에 반영하기 위해 제안된 모델링 기법들을 소개하고자 한다.

3.1 암반균열망의 공간적 분산

암반 내에 존재하는 균열들의 특성은 위치에 따라 그 값이 변화하는 공간적 분산의 특징을 가진다. 이러한 균열들의 분포를 모사할 수 있는 DFN 모델을 생성하기 위해서는, 암반 공간을 균열의 분포 특성이 유사한 균열 영역(fracture domain)별로 분할 및 분류할 필요가 있다. Selroos et al.(2022)은 균열 특성의 공간적 분산을 분산의 발생 원인에 따라 내부적 분산(intrinsic variability)과 외부적 분산(extrinsic variability)으로 구분하였다. 외부적 분산은 암종(rock type), 응력장(stress regime), 균열성장거동(fracturing process) 등이 상이한 경우 또는 단층과 같은 지질학적 경계가 존재할 때 발생한다. 반면, 내부적 분산은 암종, 응력장, 균열성장거동 등의 외부적 조건이 동일한 경우에도 자연의 본질적인 무작위성에 의해 필연적으로 발생하는 공간적 분산을 일컫는다. 한편, 공간적 분산을 균열 영역 간의 경계를 기준으로 나누면, 영역 내 분산(intra-domain variability)과 영역 간 분산(inter-domain variability)으로 나눌 수 있다. 영역 내 분산은 단일 영역 내에서의 균열 시스템(fracture system)의 공간적 분산이며, 균열 영역을 이상적으로 분할했을 경우 내부적 분산과 동일한 분산이다. 영역 간 분산은 영역들 간의 균열 분포 특성의 상이성을 가리키며, 단일 통계적 모델로는 설명할 수 없는 충분히 큰 공간적 분산을 의미한다. Fig. 1은 앞서 기술한 개념들을 시추공 조사에서 나타나는 균열 빈도값의 공간적 분산을 예시로 설명한 도해이다.

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Fig. 1.

Categorization of spatial variability by source and domain boundary (modified from Selroos et al., 2022)

Fig. 2는 암반 공간을 암반균열망의 공간적 분산에 따라 영역별로 분류하는 과정을 나타낸 도표(Selroos et al., 2022)이다. 지질학적 경계와 영역 내 분산 및 영역 간 분산을 모두 고려하여 균열 영역을 결정하게 되며, 여기서 영역 간의 공간적 분산은 통계적 거리(statistical distance)로 표현된다. 통계적 거리는 암반균열망 분포 간의 통계적 상이성을 의미하는 것으로, 통계적 거리를 바탕으로 이상적으로 균열 영역을 분할했을 경우 각 영역이 단일 균열 밀도 분포함수 및 DFN 모델로 기술될 수 있다는 특징이 있다.

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Fig. 2.

Classification process of deriving fracture domains based on spatial variability (Selroos et al., 2022)

Darcel et al.(2013)은 균열 빈도의 공간적 분산을 기준으로 암반 영역을 나누기 위해 균열 빈도 분포 간의 유사성을 나타내는 통계적 거리를 다음과 같이 도입하였다. 두 영역의 균열 빈도 데이터셋 jk이 주어졌을 때, 두 데이터셋의 균열 밀도(dm) 간 차이의 절댓값을 각 데이터셋의 표준 편차(σvar)의 합으로 나눈 값을 통계적 거리((j,k))로 정의하였다. 통계적 거리는 각 데이터셋을 균열 방향 계급(orientation bin)으로 분류하여 도출할 수도 있는데, Fig. 3는 균열 데이터를 균열의 주향과 경사각에 따라 1개(O-1 gird), 3개(O-3 gird), 5개(O-5 gird)의 계급으로 분류한 예시를 보여준다. 통계적 거리를 NZ개의 방향 계급별로 계산하여 식 (4)와 같이 평균값을 도출할 수 있으며, 이 값을 두 데이터셋의 평균 통계적 거리(averaged statistical distance)로 정의하였다(Darcel et al., 2013).

(4)
a(j,k)=1NZn=1NZ|(dm)nj-(dm)nk|(σvar)nj+(σvar)nk

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Fig. 3.

Illustration of dataset orientation binning where colors indicate different bins (modified from Darcel et al., 2013)

Darcel et al.(2013)은 제안한 통계적 거리 개념을 스웨덴의 포쉬마크 지역의 시추공 데이터에 적용하여 균열 빈도 분포 특성에 따라 해당 지역의 균열망 영역을 분류하였다. 균열망 영역을 분류하기 위해 먼저 시추공 데이터를 변형대 등의 지질학적인 경계에 따라 148개의 초기 영역 혹은 초기 데이터셋으로 세분하였다. 각 시추공 데이터셋의 구간 크기는 5~522 m의 범위 내에 분포했으며, 구간별 균열 빈도 수는 최소 5개부터 최대 4229개였다. 148개의 데이터셋을 각각 독립적인 계층(class)으로 가정하였으며, 계층 사이의 통계적 거리를 계산하면서 그 중 거리가 가장 가까운 두 계층을 통합하였다. 계층 간의 통계적 거리가 특정 기준치인 max을 넘기 전까지 계층 간 통합을 반복하는 알고리즘을 적용하여 최종 계층을 도출하였다. Fig. 4는 그 결과를 분류된 계층의 개수와 max의 관계로 나타낸 그래프이다. Fig. 4(a)(b)는 각각 O-1 grid 와 O-3 grid에 대한 결과이며, 여기서 O-3 grid는 경사각 25°와 65°를 기준으로 분류한 세 개의 방향 계급을 의미한다.

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Fig. 4.

Number of classes during the classification process on the O-1 grid and O-3 grid (modified from Darcel et al., 2013)

포아송 분포를 따르는 여러 DFN 모델들이 혼재하는 임의의 암반 공간에 해당 알고리즘을 적용하여, max가 1.66일 때 DFN 모델별로 영역이 바르게 분할되는 것을 확인하였다(Darcel et al., 2013). 따라서, max=1.66을 포쉬마크 지역의 영역 분할에 적용하였으며, 그 결과로 O-1 grid에서는 데이터셋이 6개의 계층으로 분류되고 O-3 gird에서는 7개의 계층으로 분류되었다(Fig. 4). 특히, Fig. 4(b)에서 max이 1.35에서 1.66으로 증가하면 계층의 개수가 9개에서 7개로 감소하고, 이때 해당 구간의 max 격차가 다른 구간에 비하여 상대적으로 컸다. 계층이 9개와 7개로 분류되는 각각의 경우에 대해 계층 간 균열 분포의 유사성을 정성적으로 분석하여 최종적으로 7개의 계층이 조사 지역의 암반균열망을 더 적절히 설명한다고 판단하였다. 이와 같은 과정을 거쳐 도출된 각 계층은 통계적으로 얻어진 균열 영역에 해당하며, 앞서 언급한 것과 같이 각 균열 영역의 균열 분포는 독립적인 통계적 균열 모델(statistical fracture model)로 기술될 수 있다.

3.2 균열 간의 공간적 상관성

암반균열망은 일정 시간에 걸쳐 암반 내부에 균열이 순차적으로 발생 및 성장함으로써 형성된다. 암반균열망의 형성과정에서 균열들은 서로의 발생 및 성장에 영향을 주게 되고, 결과적으로 균열 간의 상호작용에 의해 암반균열망의 균열 분포는 공간적 상관성을 띠게 된다(Davy et al., 2010, Davy et al., 2013, Selroos et al., 2022). 이는 암반균열망의 균열이 암반 공간 내에 무작위로 분포하는 것이 아니라, 균열 사이에 일정한 관계 혹은 상관성을 가지며 분포한다는 것을 의미한다.

암반 균열 간의 공간적 상관성의 예로, 자연에서 관찰되는 암반균열망은 포아송 분포에 의해 생성된 DFN 모델에 비해 균열들이 서로를 교차하는 경우가 상대적으로 적다(Davy et al., 2010, Sanderson and Nixon, 2015). 이는 균열이 성장하면서 균열 끝(tip)이 크기가 큰 다른 균열에 근접하면 응력장 변화에 의해 균열 성장이 저하되거나 성장이 중단되기 때문에 나타나는 균열 간의 공간적 상관성으로(Segall and Pollard, 1983, Spyropoulos et al., 1999), 핀란드의 방사성폐기물 심층처분장 지하연구시설인 온칼로(ONKALO)의 터널 바닥면 균열 분포 지도(Fig. 5)에서 이러한 공간적 상관성을 확인할 수 있다. 2차원 균열망의 균열 교점 및 종점을 유형별로 분류하면, 두 균열이 서로 교차하는 X-교점(X-termination), 한 균열의 종점이 다른 균열 위에 있는 T-교점(T-termination), 두 균열의 종점이 서로 겹치는 V-교점(V-termination) 그리고 다른 균열과 연결된 균열의 자유종점(free end)과 다른 균열과 독립적으로 존재하는 균열의 고립종점(isolated end)으로 나눌 수 있다(Sanderson and Nixon, 2015, Selroos et al., 2022). Fig. 5를 보면 균열망의 X-교점이 T-교점에 비해 상대적으로 적다는 것을 확인할 수 있는데, 균열들이 무작위로 분포할 경우 X-교점이 T-교점에 비해 많이 나타나는 것과 대비된다.

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Fig. 5.

Fracture network terminations observed at tunnel floor of ONKALO (Selroos et al., 2022)

균열 교점 및 종점의 유형을 기준으로 암반균열망을 특성화하면 Fig. 6과 같이 나타낼 수 있다. Fig. 6의 삼각도표와 같이 교점 및 종점(자유종점과 고립종점)의 비율에 따라 암반균열망의 위상(topology)을 표현할 수 있으며, Sævik and Nixon(2017)은 이러한 연결성이 암반균열망의 수리적 특성과 밀접한 관계가 있다고 보고하였다. Sævik and Nixon(2017)은 자연에서 관측된 암반균열망을 포함한 여러 2차원 DFN 모델에 대해 유체 주입 실험을 수치적으로 수행하여, DFN 모델의 수리전도도와 유효투수율이 균열망의 교점 및 종점의 비율과 밀접한 관계가 있음을 보였다. 이외에 Maillot et al.(2016)Xiong et al.(2022)에서도 균열 간의 공간적 상관성에 따라 DFN 모델의 수리적 거동이 상이하다고 보고된 바 있다.

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Fig. 6.

Ternary diagram of proportions of terminations for different fracture networks (Selroos et al., 2022)

이처럼 암반균열망의 균열 간 공간적 상관성은 암반균열망의 거동에 직접적으로 영향을 미치는 요소로, DFN 모델을 생성할 때 균열 간 공간적 상관성이 재현되어야 한다. 그러나, 개념 모델에서 DFN 모델을 생성할 때 일반적으로 사용되는 포아송 모델은 이러한 공간적 상관성을 재현하는 데 한계가 있다. 포아송 모델은 DFN 모델의 균열들이 공간 안에 독립적으로 분포하는 포아송분포(Poisson distribution)를 따른다고 가정하므로. 현장 개념 모델의 균열 크기 분포 및 방향 분포를 만족하는 DFN 모델을 생성할 수는 있지만, 현장에서 관찰되는 균열 간의 공간적 상관성을 모사하는 균열망은 생성하지 못한다.

균열 밀도 분포함수의 통계학적 특징만 재현하는 포아송 모델 기반의 모델링(이하 ‘통계학적 모델링’)의 한계를 극복하기 위해 균열의 발생과정을 모사하여 DFN 모델을 생성하는 발생학적 모델링(genetic modeling)이 제안되었다(Davy et al., 2013, Lavoine et al., 2020, Libby et al., 2019). 발생학적 모델링은 통계학적 모델링과 달리 균열 간의 공간적 상관성을 표현하며, 발생학적 모델링에서의 균열 크기 분포는 모델링 과정에서 후천적으로 결정되는 요소(emerging property)이다. 균열의 발생 및 성장을 응력장 및 암반 파괴거동을 고려하여 직접적으로 해석하기보다, 균열 형성과 관련된 간소화된 규칙들을 기반으로 DFN 모델을 생성하는 것이 발생학적 모델링의 주요 특징이다.

발생학적 모델링의 DFN 모델 생성 과정은 크게 세 가지 요소로 구성되어 있다. 첫 번째는 균열의 핵 생성(fracture nucleation)으로, 균열 핵에 해당하는 미소 균열을 무작위적으로(Davy et al., 2013) 혹은 주변 균열에 의한 응력장 변화를 고려하여(Lavoine et al., 2020) 모델링 시점(time step)마다 암반 공간 안에 생성하는 것이다. 두 번째는 균열 성장(fracture growth)으로, 특정 균열 성장 속도식을 이용하여 모델링 시점마다 균열의 크기를 증가시키는 것이다. 세 번째는 균열 성장 중단(fracture arrest)으로, 균열이 성장하면서 다른 균열과 접할 경우 성장을 중단시키는 것이다. Davy et al.(2013)Lavoine et al.(2020)은 크기가 작은 균열이 더 큰 균열과 접하는 경우, 작은 균열의 성장을 중단시키는 규칙을 적용하였다. Fig. 7은 발생학적 모델링의 균열 핵 생성, 균열 성장 및 성장 중단에 따른 모델링 시점별 DFN 모델을 나타낸다. 각 모델링 시점에서 새로운 균열 핵이 생성되고, 기존에 있던 균열들은 성장하고, 균열들이 성장과정에서 만나는 경우 성장이 중단되는 것을 확인할 수 있다.

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Fig. 7.

Illustration of the DFN generation and evolution of genetic modeling (Davy et al., 2013)

발생학적 모델링의 DFN 모델을 동일한 균열 밀도 분포함수를 갖는 통계학적 DFN 모델과 비교하면(Fig. 8), 발생학적 DFN 모델(Fig. 8(b))에서는 균열들이 일정한 구조(organization)를 이루는 반면에 통계학적 DFN 모델(Fig. 8(a))에서는 균열들이 무작위로 분포하는 것을 확인할 수 있다. 이러한 구조 차이에 대해 Maillot et al.(2016)은 자연의 균열망에서는 흔하게 관측되는 채널링(flow channeling)(Berkowitz, 2002, Neuman, 2005, Tsang and Neretnieks, 1998)이 통계학적 DFN 모델에서는 재현되기 어려우나 발생학적 DFN 모델에서는 잘 모사된다고 보고하였다. Fig. 8(b)Fig. 8(c)를 비교하면, 균열 간의 간섭을 고려하여 균열 핵을 생성한 Lavoine et al.(2020)의 발생학적 모델링(Fig. 8(c))에서 균열의 군집화가 더 잘 모사되는 것 또한 확인할 수 있다.

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Fig. 8.

Comparison of DFN models generated by different modeling methods (modified from Lavoine et al., 2020)

3.3 기존 DFN 모델링 기법의 한계점 및 추후 연구

3.3.1 암반균열망의 공간적 분산

암반균열망의 공간적 분산을 고려하여 암반을 여러 영역으로 나누는 Darcel et al.(2013)의 영역 분할법에서 영역 간의 상관성은 분석되지 않기 때문에 여러 영역을 걸쳐서 나타나는 균열 특성의 경향성 및 연속성은 불연속균열망 모델링에서 재현되지 못하며, Darcel et al.(2013)은 이에 대해 추후 연구가 필요하다고 명시하고 있다. 이외에도, Darcel et al.(2013)은 영역을 구분하는 통계적 거리의 기준치인 max에 대한 최적 값을 명확히 제시하지 못했다는 한계점이 있다. 암반 공간을 이루는 영역의 개수 및 형태가 max의 값에 따라 달라지게 되는데, 영역을 적절히 분할하는 max 값을 선정하는 과정에서 시추공 데이터에 대한 정성적인 분석 등의 주관적인 판단이 개입되었다. 공간적 분산에 따른 암반균열망 거동 분석 등을 기준으로 보다 객관적인 최적값 선정법이 제시되어야 할 것으로 판단된다. 또한, Darcel et al.(2013)은 현장 조사로 유추한 지질학적 경계에 따라 초기 영역을 설정하였는데, 이때 영역 내의 공간적 분산에 따라 초기 영역이 세부 영역으로 분할될 가능성은 고려하지 않았다. 현장 조사로 유추한 지질학적 경계에는 일정 수준의 불확실성이 존재하기 때문에, 초기에 설정한 영역을 공간적 분산의 정도에 따라 세부 영역으로 분할하는 방법론이 제시되어야 할 것이다.

3.3.2 균열 간의 공간적 상관성

Davy et al.(2013), Libby et al.(2019)Lavoine et al.(2020) 등이 제안한 발생학적 모델링은 통계학적 모델링에 비해 균열 간의 공간적 상관성 및 균열망 연결성을 더 잘 표현한다는 장점이 있지만, 특정 현장의 암반균열망을 재현하는 데에는 어려움이 있다는 단점이 있다(Selroos et al., 2022). 발생학적 모델링의 입 력 인자들은 균열 핵 생성 빈도, 균열 성장 속도, 모델링 시간 간격 등으로 현장 조사에서 직접 도출하기 어려운 인자들이다. 따라서, 입력 인자를 변경하면서 시행착오를 거쳐야만 현장의 암반균열망을 재현하는 최적의 DFN 모델을 도출할 수 있다. 통계학적 모델링이 현장 조사에서 도출한 균열 밀도 분포함수를 모델링에 직접 반영하듯이, 발생학적 모델링에서도 현장의 조사 자료를 직접 반영하는 입력 인자를 개발하거나 발생학적 모델링에 맞춰서 현장 조사를 수행하는 절차적 가이드라인을 개발해야 할 것으로 판단된다. 이외에도, 자연의 암반균열망에서 관찰되는 균열 간의 상호작용을 면밀히 조사하여 이를 발생학적 모델링에 구현하는 연구가 지속적으로 이뤄져야 할 것으로 판단된다.

4. 결 론

DFN 모델은 암반의 균열망을 직접적으로 모사하는 불연속 암반 모델로서, 암반 내 균열 특성을 종합적으로 반영하면서 불연속적인 균열 특성에 대한 균질화 과정을 요구하지 않아 여러 불연속암반의 수리-역학적 거동 해석 연구에 활용되어 왔다. 최근 들어서는 방사성폐기물 심층처분장에서의 불연속암반 거동 해석과 같이 대규모 영역을 대상으로 하거나 높은 신뢰성을 갖춰야 하는 DFN 모델링이 점차 요구됨에 따라, 이전에는 고려되지 않았던 암반균열망의 공간적 분산과 균열 간의 공간적 상관성을 고려한 DFN 모델링이 대두되고 있다. 이에 따라 본 고에서는 스웨덴의 포쉬마크 방사성폐기물 심층처분장 부지에서의 DFN 모델링을 정리한 Selroos et al.(2022)의 보고서를 중심으로 암반균열망 모델링의 방법론을 소개하고, 암반균열망의 공간적 분포 특성의 유형과 이를 DFN 모델링에 반영하기 위해 제안된 모델링 기법들을 검토하였다. 다음은 검토 내용에 대한 주요 결론이다.

∙암반균열망의 공간적 분산은 발생 원인에 따라 내부적 분산과 외부적 분산으로 구분할 수 있으며, 암반 공간을 나누는 영역을 기준으로는 영역 내 분산과 영역 간 분산으로 구분할 수 있다. 영역 내 분산이 내부적 분산과 일치하도록 암반 공간을 영역별을 이상적으로 나눈 경우에, 각 영역을 단일 균열 밀도 분포함수 및 DFN 모델로 기술할 수 있다는 특징이 있다. Darcel et al.(2013)은 균열 빈도의 공간적 분산을 고려하여 영역을 분할하는 방법을 제안하였는데, 최적의 통계적 거리 기준치(max)의 객관적인 산정, 초기 영역 분할법 등에 대한 추후 연구가 필요할 것으로 판단된다.

∙암반균열망의 균열들은 균열 사이에 일정한 관계 혹은 상관성을 가지며 분포하며, 이러한 균열 간의 공간적 상관성은 암반균열망의 수리-역학적 거동에 영향을 미치는 것으로 알려져 있다. 기존의 포아송 모델 기반의 추계학적 모델링으로는 균열 간 상관성을 DFN 모델에 재현하는 데에 한계가 있어, 균열의 발생과정을 모사하여 균열 간 상관성을 재현하는 발생학적 모델링이 제안되었다(Davy et al., 2013, Libby et al., 2019, Lavoine et al., 2020). 발생학적 모델링으로 생성한 DFN 모델은 균열 간의 공간적 상관성 및 균열망 연결성을 잘 표현한다는 장점이 있으나, 추후 연구를 통해 현장 조사 자료를 모델링 과정에 반영하는 방법을 제시해야 할 필요가 있다.

Acknowledgements

본 연구는 2022년도 정부(산업통상자원부)의 재원으로 해외자원개발협회의 지원(2021060003, 스마트 마이닝 전문 인력 양성)과 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원(No. 2022R1F1A1076409)을 받아 수행된 연구입니다.

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