1. 서 론

벤치마킹(benchmarking)은 일반적으로 개발 제품의 성능, 제공 서비스의 품질, 기관의 업무처리 방식 등을 다른 경쟁모델과 비교 평가하여 개선하는 활동을 말한다. Gerya(2010)에 따르면, 수치해석 코드에 대한 벤치마크 테스트는 수치모델링에 의해 계산된 결과를 해석해(analytical solution), 실험측정 자료, 또는 다른 유사 수치코드들의 해석결과와 비교하는 작업을 의미한다. 수치코드의 강건성(robustness)은 다양한 모델링 조건에서 계산 성능(정확도)이 유지되는 것으로 정의될 수 있으며, 새롭게 개발된 수치코드는 벤치마크 테스트를 통해 강건성이 평가될 필요가 있다. 해석해는 일반적으로 재료거동의 지배방정식, 기하학적 형상, 경계조건, 초기조건 등을 단순화하여 유도된 결과로서 수치코드의 벤치마킹을 위한 초기 단계에 활용될 수 있다. 실험에 기반한 벤치마크 테스트는 실제 관측된 재료거동 자료가 사용되고, 해석해 도출 시 반영하기 어려운 복잡한 거동 특성이 고려될 수 있으므로 상대적으로 정밀한 성능평가법으로 간주할 수 있다. 다만, 벤치마킹에 사용되는 측정자료는 수차례 실험을 통해 정확성, 정밀성, 반복성 등이 확보될 필요가 있다.

지반의 다중물리(multiphysics) 복합거동 해석을 위한 수치코드는 열, 수리, 역학, 화학 반응 등이 서로 연계된 매질의 거동을 모사하기 위해 사용되며, 벤치마크 테스트를 통해 실제 물리적 거동을 정확도 높게 예측할 수 있는지 검증될 필요가 있다. 다중물리 복합거동 수치해석 기법의 검증과 관련하여 잘 알려진 국제공동 연구는 DECOVALEX (DEvelopment of COupled models and their VALidation against EXperiments) 프로젝트이다. 이 프로젝트에서는 보유하고 있는 물리적 거동에 대한 계측자료를 공개하지 않은 상태에서 참여 연구팀별로 수치해석을 수행하고, 이후 계측자료를 공개하여 해석결과를 상호 비교하여 적용된 수치해석 기법의 적합성을 검증한다. DECOVALEX 프로젝트는 1992년 시작되어 2023년까지 8단계 프로젝트(DECOVALEX-I, II, III, THMC, 2011, 2015, 2019, 2023)가 수행되었다(DECOVALEX, 2024). 한편, 물, 공기, 토립자의 3상(phase) 구조로 구성된 불포화토의 수리-역학적 복합거동을 모사할 수 있는 수치해석 기법을 개발하기 위해 MUSE (Mechanics of Unsaturated Soils for Engineering)라는 국제공동 프로젝트가 2004년 12월부터 2008년 11월까지 수행되었다(Gallipoli et al., 2006). 또한, 메탄 하이드레이트(methane hydrate) 저류층 시뮬레이터들의 유체흐름, 열전달, 물질이동 관련 복합거동 해석기술의 성능을 비교 검증하기 위해 국제공동 연구인 Methane Hydrate Reservoir Simulator Code Comparison Study (NETL, 2020)가 수행되었다.

TOUGH-FLAC 연계해석은 Rutqvist et al.(2002)에 의해 제안된 모델링 기법으로 유체거동 분석을 위한 TOUGH 수치코드(LBNL, 2024)와 역학해석을 위한 FLAC3D 수치코드(Itasca, 2024)가 조합된 순차적 연계해석법(sequential coupling method)에 기반한다. TOUGH-FLAC 기법은 국내외적으로 이산화탄소 지중저장, 사용후핵연료 지층처분, 지열 개발 등 다양한 지반공학적 문제에 활용되었으며, DECOVALEX 프로젝트 등에서 주로 실내 및 현장실험 계측자료, 다른 수치코드들의 계산결과와의 비교를 통해 수치모사의 예측 성능 및 유효성이 분석되었다. 한편, 열-수리-역학적 복합거동과 관련된 해석해에 기반한 TOUGH-FLAC 벤치마크 테스트 사례로는 Blanco-Martín et al.(2017) 연구가 있으며, 이 연구에서는 Booker and Savvidou(1985)가 제시한 해석적 문제(이하 “Booker-Savvidou 문제”라고 함)를 토대로 벤치마크 테스트가 수행되었다. Booker-Savvidou 문제에서는 다공질 매질에 점열원(point heat source)이 작용하는 조건에서 열-수리-역학적 복합거동에 대한 해석해가 제시되었으며, 연계해석 수치코드인 COMSOL (Maßmann et al., 2016, Guo et al., 2020), FRACON (Nguyen and Selvadurai, 1995), OGS (OpenGeoSys Community, 2024; Zheng, 2018, Chaudhry et al., 2019), OGS-FLAC (Park and Park, 2022), TOUGH-FLAC (Blanco-Martín et al., 2017)의 계산성능 평가에 활용되었다.

Fig. 1은 Booker-Savvidou 문제에 대해 TOUGH-FLAC 벤치마크 테스트를 수행한 Blanco-Martín et al.(2017)의 해석모델 및 수치해석에 의해 계산된 복합거동과 해석해를 비교한 결과를 나타낸다. 본 해석적 문제에서는 열원에 의한 주변지반의 온도 상승 및 압력 증가에 따른 유체의 상변화(phase change)가 발생하지 않는 것으로 가정하였다. TOUGH 수치코드에서 물의 온도 및 압력에 따른 열역학적 물성은 IFC(1967)의 증기표(steam table), 약칭 IFC-67을 토대로 자동 계산되도록 알고리즘이 설계되었다. 즉, IFC-67에 기반하여 공극 내 유체의 온도 및 압력 조건에 따라 상변화 여부가 결정되고, 밀도, 점성도, 포화증기압, 엔탈피와 같은 열역학적 물성이 변화한다. 따라서 TOUGH-FLAC 기법에 의해 Booker-Savvidou 문제를 풀기 위해서는 온도 및 압력 변화로 인해 유체의 상변화가 발생하지 않고 초기의 액체 상태가 수치계산 동안 계속 유지되도록 TOUGH 소스코드를 수정할 필요가 있다. 참고로 국제 표준으로 사용된 IFC-67은 개선된 IAPWS-IF97 (IAPWS, 2007)로 변경되었고(Fig. 2), Croucher and O’Sullivan(2008)은 TOUGH에 IAPWS-IF97이 반영되도록 코드를 수정하여 지열 시스템의 수치모사를 수행하였으며 공식적으로 변경된 코드를 출시하지는 않았다(Battistelli et al., 2017).

Fig. 1.

(a) Numerical model of Booker and Savvidou’s problem and (b) the comparison between analytical solutions and numerical results for temperature and pore pressure (Blanco-Martín et al., 2017)

Fig. 2.

Phase diagram of water for IAPWS-IF97 (Wu et al., 2023)

Booker-Savvidou 문제에서는 열원에 의한 매질의 열적 반응은 유체의 수리 거동 및 고체(지반)의 역학 거동에 영향을 미치지만, 반대로 수리 및 역학적 반응은 열적 거동에 영향을 미치지 않는 것으로 가정하였다. 열원으로 인한 매질의 온도 변화는 수리 및 역학적 거동과 관계없이 발생하므로 수치모델링의 적정성을 확보하기 위해서는 시간 경과에 따른 매질의 온도 분포가 해석해와 잘 일치하는지 검토할 필요가 있다. Fig. 1(b)의 시간 경과에 따른 매질의 온도 변화를 비교한 자료를 보면(Blanco-Martín et al., 2017), 열원에 가장 근접한 계측지점(M1)의 경우 초기 시간대에서는 선으로 표현된 해석해와 기호로 표시된 수치모사 결과가 비교적 잘 일치하지만, 시간 경과에 따라 수치모사 결과와 해석해 사이에 점차적으로 편차가 발생하는 것으로 나타났다. 한편, 이 연구에서는 점열원으로 인한 매질의 온도 및 간극수압의 변화는 비교되었으나, 역학적 거동(응력, 변위)의 해석해에 대해서는 벤치마킹 결과가 제시되지 않았다.

본 연구에서는 TOUGH 수치코드의 열원으로 인한 유체의 상변화 문제, 상기의 TOUGH-FLAC 연계기법을 이용한 선행 연구에서 제시되지 않은 역학적 거동에 대한 벤치마킹을 다루고자 하였다. 열원으로 인한 유체의 상변화가 발생하지 않도록 TOUGH 소스코드를 변경하고 TOUGH-FLAC 연계기법에 의해 Booker-Savvidou 문제를 수치모사하였다. 또한, 유체의 지배방정식을 구성하는 연계항(coupling term)들 중 역학적 거동과 관련된 부분(지반의 체적 변형에 의한 유체의 유입 및 유출을 나타내는 연계항), 유체의 상변화, 명시적 기법(explicit method)에 기반한 TOUGH-FLAC 연계해석의 시간증분(timestep)이 복합거동 계산결과에 미치는 영향을 조사하였다.

2. Booker-Savvidou 문제

앞서 서론 부분에서 서술한 대로 Booker-Savvidou 문제는 다공질 매질에 점열원이 작용하는 경우 주변지반의 열-수리-역학적 복합거동을 다루고, 시간 경과에 따른 지반의 온도, 간극수압, 변위, 응력에 대한 해석해가 제시되었다. 수리적으로는 유체(물)로 완전 포화된 상태, 역학적으로는 탄성 재료로 가정되었고 중력의 영향은 고려되지 않았다. 매질의 열적 반응은 유체의 수리 거동 및 지반의 역학 거동에 영향을 미치지만 수리 및 역학적 반응은 열적 거동에 영향을 미치지 않는 것으로 가정하였으며, 수리 및 역학적 거동은 상호 영향을 미치는 것으로 고려하였다. 열원에 의해 매질의 온도는 상승하고 이는 공극 내 유체와 매질을 팽창시키며, 공극의 크기보다 유체의 체적 증가분이 커지면 간극수압의 증가가 발생한다. 간극수압 증가는 유효응력의 감소로 이어지고 이에 따라 열-수리-역학적 복합거동이 발생하게 된다. 열 작용으로 인해 매질의 온도 및 유체압력이 증가함에 따라 발생하는 유체의 상전이(phase transition)는 적용되지 않았다. 또한, 열에너지는 열 전도(conduction)에 의해서만 매질 내로 전달되고, 고체와 유체는 비압축성 재료로 간주되었다. 고체 및 유체의 비압축성 가정에 따라 매질 내 유체의 유출량은 응력 작용에 따른 체적 변화와 열에너지에 의한 체적 변화를 토대로 계산되었다.

Booker-Savvidou 문제에서 고려된 열, 유체, 고체 거동에 대한 지배방정식, 그리고 온도, 간극수압, 변위, 응력에 대한 해석해 유도와 관련된 내용은 Booker and Savvidou(1985), Chaudhry et al.(2019), Park and Park(2022)에 상세히 기술되어 있다. OGS-FLAC 연계해석을 이용하여 Booker-Savvidou 문제의 벤치마킹 결과를 제시한 Park and Park(2022) 논문에서 관련된 지배방정식 및 해석해의 유도 과정이 한글로 자세히 설명되어 있으므로 배경 이론의 중복된 설명과 논문 유사도를 줄이기 위해 본 고에서는 아래와 같이 Booker-Savvidou 문제의 해석해 수식들만 기술하고자 한다. Chaudhry et al.(2019)은 Booker and Savvidou(1985)의 응력 해석해에 일부 오류가 있음을 보고하였고 식 (4)~(5)와 같이 보정하였다. 본 논문에서 언급된 수식들의 매개변수 단위는 길이 m, 시간 sec, 힘 N, 온도 K, 밀도 kg/m³, 응력 Pa, 압력 Pa, 투수계수 m³, 열전도도 W/m-K, 체적 열팽창계수 1/K, 점성도 Paㆍsec, 열용량 J/kg-K, 열원 W이다.

여기서 T는 온도, Q는 열원, P는 유체압력, u는 변위, x_i는 열원으로부터 거리, i와 j는 x, y, z축, σ는 응력, t는 시간을 나타내고, 해석해 표현에 사용된 변수들은 아래와 같이 정의된다.

여기서 K는 지반의 열전도도, m은 체적 열용량(volumetric heat capacity), λ는 Lamé 계수, G는 전단계수, γ_w는 물의 단위중량, n은 공극률, ρ_w와 ρ_s는 각각 물과 지반의 밀도, c_w와 c_s는 각각 물과 지반의 열용량, a_u는 매질 전체의 체적 열팽창계수(overall volumetric thermal expansion coefficient), a_w와 a_s는 각각 물과 지반 입자의 체적 열팽창계수, a′은 지반의 체적 열팽창계수, R은 열원으로부터 이격된 위치의 직선 거리, x, y, z는 각각 열원으로부터 이격된 x, y, z축 거리이다.

3. TOUGH-FLAC 연계해석에 의한 벤치마크 테스트

3.1 해석모델 및 조건

TOUGH-FLAC 연계해석에 의해 Booker-Savvidou 문제를 풀기 위한 수치모델은 Fig. 3과 같다. 해석영역은 5 × 5 × 5 m로 설정되었고 열원의 크기는 100 W이었다. 복합거동을 측정하기 위한 계측위치는 해석요소의 중심에 해당하는 2개 지점(P1, P2)이 임의로 선정되었고, 열원으로부터 거리는 각각 약 0.33, 0.5 m이었다. 열원의 좌표는 (0, 0, 0), 계측지점의 좌표는 P1 = (0.2427, 0.1747, 0.1461), P2 = (0.3779, 0.2828, 0.1747) 이었다. Booker-Savvidou 문제에서 가정한 조건을 반영하여 매질은 물로 완전 포화된 탄성거동 지반으로 모델링되었고 중력의 영향은 고려되지 않았다. Table 1은 본 연구에서 적용한 지반 및 유체의 재료물성을 나타내며, 이 자료는 OGS-FLAC 시뮬레이터를 이용하여 Booker-Savvidou 문제를 벤치마킹한 Park and Park(2022)에서 적용된 물성이다. 본 연구에서는 두 가지 해석 case (Case1, Case2)에 대해 TOUGH-FLAC 연계해석을 수행하였고, 수치모사 결과는 해석해와 비교 분석되었다. 총 계산시간은 Case1과 Case2에 대해 각각 2×10⁵, 2×10⁶ sec이었다. Park and Park(2022)에 따르면, Case1은 지반의 압축성이 작은 경우, Case2는 상대적으로 지반의 압축성이 큰 경우를 나타낸다.

Fig. 3.

Numerical model for benchmark test

앞서 2절에서 언급한 대로 Booker-Savvidou 문제에서는 공극 내 유체의 압력 및 온도 조건에 따른 상변화가 고려되지 않았다. TOUGH 수치코드에서는 물의 온도 및 압력에 따라 유체의 상변화 여부가 결정되고, 이로부터 물의 열역학적 물성(밀도, 점성도, 포화증기압, 엔탈피 등)이 정해진다. 온도 및 압력에 따른 열역학적 물성은 IFC(1967)에서 제시한 증기표 자료에 의해 산정된다. 그러므로 TOUGH-FLAC 연계해석에 의해 본 벤치마크 문제를 풀기 위해서는 온도 및 압력 변화로 인해 유체의 상변화가 발생하지 않고 초기 설정된 액체 상태가 수치계산 동안 유지되도록 TOUGH 소스코드를 변경할 필요가 있다. 본 연구에서는 압력 및 온도 조건에 따라 물의 상전이가 발생하지 않고 초기 설정된 물의 열역학적 물성이 변동되지 않도록 TOUGH 소스코드의 상태방정식(equation of state) 부분의 알고리즘을 변경하였고, 변경된 솔버(solver) 파일을 이용하여 수치모사가 수행되었다. Fig. 4는 열원이 작용하는 해석요소(셀)의 열 노출 시간에 대한 온도 및 기체 포화도의 변화를 나타내고, 기체 포화도는 물의 상변화를 고려한 경우와 고려하지 않은 경우에 대한 자료가 비교되었다. 그림으로부터 열원에 의해 시간 경과에 따라 온도가 상승하고 유체 상변화를 고려한 경우에는 초기값인 기체 포화도 = 0에서 포화도가 점차적으로 증가하는 것으로 나타났으며, 유체 상변화를 미고려한 경우에는 초기의 기체 포화도 값이 유지되는 것을 알 수 있다. 본 연구에서는 상변화가 고려되지 않는 TOUGH 실행파일을 이용하여 본 벤치마크 문제를 수치모사하였으며, 상변화를 고려한 경우를 추가로 해석하여 상변화가 복합거동 계산결과에 미치는 영향을 조사하였다.

Fig. 4.

Gas saturations with time for the cases with and without the phase change of water

물로 완전히 포화된 지반의 유체 부분의 지배방정식(질량 보존 방정식)은 식 (19)와 같이 표현될 수 있다. Booker-Savvidou 문제에서는 지반 입자 및 물의 비압축성이 가정되므로 식 (19)의 좌측 첫 번째 항은 고려되지 않는다. 식 (21)~(22)는 TOUGH 소스코드에 적용된 유체거동 지배방정식을 나타내고, 기본적으로 유체압력으로 인한 공극률 변화(∂n/∂P)와 열에 의한 공극률 변화(∂n/∂T)는 고려되지 않는다(Jung et al., 2018b). 유체압력의 작용에 따른 공극률 변화가 계산에 반영되지 않으므로 본 벤치마크 문제의 적용 조건과 같다. 한편, TOUGH는 다공성 지반의 열적 및 수리적 흐름을 계산하기 위해 개발된 수치코드로서(Jung et al., 2018b), 지반의 역학적 변형으로 인한 유체의 질량 변화(식 (19)의 좌측 두 번째 항)가 소스코드에 반영되지 않은 것으로 파악되었다. 본 연구에서는 이 부분이 고려되도록 연계해석 알고리즘을 작성하였으며, 수리해석 시 FLAC3D에 의해 계산된 체적변형률 자료를 토대로 각 해석셀에 대해 소스텀(source term) 형태로 모델링되어 유체거동이 계산되었다.

여기서 C는 매질 전체의 압축률(overall compressibility), P는 유체압력, α는 Biot 계수, ε_v는 지반의 체적 변형률, a_u는 매질의 체적 열팽창계수, T는 온도, q_m은 단위시간당 유출량(flux), t는 시간, n은 공극률, K_f와 K_s는 각각 유체와 고체입자의 체적 변형계수이다.

여기서 M은 성분 κ의 질량 축적항(mass accumulation term), F는 질량 유속(mass flux), q는 유체 용출 (source)및 용입(sink), n은 공극률, β는 유체상(fluid phase), S는 포화도, ρ는 유체 밀도, X는 유체성분의 질량비이다.

3.2 해석해와 비교

본 연구에서 고려한 수치해석 Case1과 Case2에 대한 수치모사 결과는 Figs. 5, 6, 7, 8과 같다. 열원으로 인한 지반의 온도 증가, 간극수압의 발생 및 매질의 투수성으로 인한 유체압력의 소산(dissipation), 지반의 역학적 거동(변위 및 응력)이 모사되었다. 열원으로부터 거리 증가에 따른 온도, 압력, 변위, 응력 발생의 시간 지연 및 첨두값(peak value)의 감소를 확인할 수 있었으며, 그림으로부터 두 가지 해석 case의 계산결과와 해석해가 비교적 잘 일치하는 것을 알 수 있었다. 앞서 설명한 대로 Booker-Savvidou 문제에서는 열원에 의한 매질의 열적 반응은 유체의 수리 거동 및 지반의 역학 거동에 영향을 미치지만, 수리 및 역학적 반응은 열적 거동에 영향을 미치지 않는 것으로 가정하였다. 즉, 열원으로 인한 매질의 온도 변화는 수리 및 역학 거동과 관계없이 발생하므로 수치모델링의 적정성을 확보하기 위해서는 계산된 온도 분포가 해석해에 잘 근사되는지 판정할 필요가 있으며, 지반 온도가 비교적 정확하게 예측되는 것으로 검토되어 수치모델링의 적정성을 확인할 수 있었다(Figs. 5, 6, 7, 8). 간극수압의 경우, 해석해와 일부 차이를 보이는 부분이 있지만, 열원에 의한 간극수압의 발생 및 소산이 전반적으로 잘 모사되는 것을 알 수 있었다. 역학적 거동인 변위, 응력의 경우도 해석해에 가까운 근사치가 계산된 것으로 검토되었으며, 해석해의 응력값을 주응력으로 변환하여 수치계산 결과와 해석해가 비교되었다. OGS-FLAC 연계해석에 의해 Booker-Savvidou 문제를 벤치마킹한 Park and Park(2022)의 경우, 유체압력으로 인한 공극률 변화(식 (19)의 좌측 첫 번째 항)가 고려되지 않으면 시간 경과에 따른 유체압력의 변화가 계산되지 못하는 구조로 OGS 소스코드가 설계되어 벤치마크 문제의 수리적 조건과 달리 이 항을 고려하여 연계해석이 수행되었다. 이로 인해 지반의 압축성이 작은 Case1은 해석해와 상당히 일치하는 계산결과를 보였지만, Case1에 비해 지반의 압축성이 상대적으로 큰 Case2의 경우에는 해석해와 수치계산 결과의 차이가 비교적 크게 발생하는 것으로 보고되었다. 다만, 해석해와 차이가 있는 Case2 결과로 인해 OGS-FLAC 시뮬레이터의 계산 성능이 불충분한 것으로 평가하기보다는 불가피하게 해석해의 기본가정과 상이한 조건에서 연계해석이 수행되어 나타난 결과로 판단함이 합리적일 것이라고 언급하였다(Park and Park, 2022).

Fig. 5.

Ground behavior with time at point P1 for Case1: (a) temperature, (b) pore pressure, (c) displacements, and (d) stresses. Sig1, Sig3, and Sxy denote the major principal, minor principal, and shear stresses, respectively

Fig. 6.

Ground behavior with time at point P2 for Case1

Fig. 7.

Ground behavior with time at point P1 for Case2

Fig. 8.

Ground behavior with time at point P2 for Case2

3.3 연계항, 상변화, 시간증분이 미치는 영향

앞서 3.1절에서 언급한 대로 본 연구에서는 서로 독립적인 두 가지 수치코드를 사용하여 연계해석이 수행되므로 유체거동 지배방정식을 구성하는 지반의 역학적 변형(체적 변형률)과 관련된 연계항, 그리고 본 벤치마크 문제에서 고려하지 않은 유체의 상변화가 복합거동 계산결과에 미치는 영향을 조사하였다. 또한, TOUGH-FLAC 연계해석은 명시적 기법에 기반하므로 수치해석을 위한 시간증분이 계산결과에 미치는 영향을 분석하였다. Fig. 9는 Case1에 대해서 체적 변형률 관련 연계항(식 (19)의 좌측 두 번째 항)의 고려 여부에 따른 계측지점 P1에서의 유체압력을 비교한 그래프이다. 체적 변형률 연계항이 고려된 경우에는 해석해에 잘 근사하지만, 체적 변형률 연계항이 고려되지 않은 경우 열원에 노출된 초기 시간대에서 유체압력이 해석해보다 다소 크게 계산되고, 시간이 지남에 따라 해석해에 비해 유체압력이 과소 평가되는 것으로 나타났다. 이로부터 체적 변형률 연계항은 유체압력의 계산에 영향을 미치는 주요 인자이고, 관련된 지배방정식들의 연계항들이 완전한 형태로 반영된 연계해석 기법의 적용이 필요함을 알 수 있었다.

Fig. 9.

Pore pressures at point P1 under different coupling conditions (Case1)

공극 내 유체의 온도 및 압력 조건에 따른 상변화가 유체압력의 계산에 미치는 영향을 분석한 결과는 Fig. 10과 같으며, IFC-67에 기반한 물의 상태방정식을 적용하여 Case1에 대해 연계해석을 수행한 결과(계측지점 P1에서 온도 및 유체압력)이다. 앞서 언급한 대로 Booker-Savvidou 문제에서 열원으로 인한 매질의 온도 변화는 수리 및 역학적 거동과 관계없이 발생하므로 유체의 상변화와는 무관하고, 이에 따라 유체 상변화가 발생하지 않은 Fig. 5(a)와 같이 해석해와 잘 일치하는 결과를 보였다. TOUGH 코드에서는 유체 상변화 시 단상(single phase) 조건의 유체압력은 액체 또는 기체의 압력으로 산정되고, 2상 조건인 경우 포화 증기압(saturated vapor pressure)으로 유체압력이 계산된다(Jung et al., 2018a). 유체의 상변화를 고려한 경우, 첨두값 및 첨두값 발생 시간이 다른 양상을 보여 해석해와 상이한 형태의 유체압력 시간이력이 나타났으며, 이로부터 Booker-Savvidou 문제를 수치모사하기 위해서는 유체의 상변화가 발생하지 않도록 TOUGH 소스코드의 변경이 필요함을 알 수 있었다.

Fig. 10.

(a) Temperature and (b) pore pressure at point P1 when considering the phase change of water (Case1)

Fig. 11은 유체의 상변화 고려 시 공극률 업데이트를 적용한 경우와 공극률 업데이트 및 체적 변형률 관련 연계항을 모두 고려한 경우의 유체압력을 비교한 그래프이다. 공극률 업데이트는 Touhidi-Baghini(1998)가 제안한 식 (23)에 의해 수행되었다. 그림으로부터 공극률만 업데이트하는 경우에는 연계해석 없이 TOUGH 수치계산만 수행한 경우와 큰 차이가 없는 반면, 체적 변형률 관련 연계항이 적용된 경우(식 (19)의 좌측 두 번째 항 고려)에는 유체압력의 발생값이 그렇지 않은 경우에 비해 크게 산정되는 것으로 나타나 유체거동의 계산에 있어 체적 변형률 연계항이 주요 영향인자임을 알 수 있었다.

여기서 n은 매질의 공극률, n_i는 초기 공극률, ε_v는 체적 변형률이다.

Fig. 11.

Comparison of pore pressures at point P1 for the cases with different mechanical coupling terms (Case1)

명시적 기법에 기반한 TOUGH-FLAC 기법의 시간증분이 유체압력의 계산에 미치는 영향을 분석한 결과는 Fig. 12와 같고, Case1에 대한 계측지점 P1에서 유체압력을 나타낸다. 시간증분의 설정값은 250, 1000, 2000 sec로서 시간대별로 차등 적용되었다. 초기 설정된 250 sec에 비해 시간증분이 커짐에 따라 해석해와 차이가 발생하며, 시간증분이 변하는 구간에서 간극수압이 불규칙적이고 과소 평가되는 경향을 보이는 것으로 나타났다. 따라서 명시적 기법에 기반한 TOUGH-FLAC 연계해석을 사용하는 경우에는 수치계산 시간증분의 설정에 있어 주의가 필요할 것으로 판단된다. 지반의 복합거동 특성을 개략적으로 추정하기 위한 예비조사 목적으로 해석이 수행되거나 광역적 수치모델링으로 인해 계산시간의 효율성이 우선적으로 고려될 필요가 있는 경우, 시간증분 변화에 따른 연계해석의 수치 안정성(수렴 여부) 및 계산 정확도를 종합적으로 평가하여 계산시간 단축을 위한 시간증분의 가변적 설정이 가능한지 검토할 필요가 있을 것으로 판단된다.

Fig. 12.

Effect of timestep size on the buildup of pore pressure at point P1 (Case1)

4. 결 론

본 연구에서는 TOUGH-FLAC 연계해석 기법의 강건성 평가를 위해 해석해가 주어진 열-수리-역학적 복합거동 문제에 대해 벤치마크 테스트를 수행하였으며, 복합거동 해석을 위한 연계항(유체거동 지배방정식의 체적 변형률 관련 연계항)이 반영되도록 연계해석 알고리즘을 작성하였다. 수치모사 결과와 해석해를 비교하여 계산 정확도가 분석되었으며, 체적 변형률 연계항, 유체의 상변화, 수치계산을 위한 시간증분이 계산결과에 미치는 영향이 조사되었다. 분석 결과, 체적 변형률 연계항이 고려된 본 연구의 연계해석 알고리즘이 해석해를 비교적 잘 근사하는 것으로 확인되었다. 반면, 체적 변형률 연계항이 반영되지 않은 조건에서는 유체압력이 해석해에 비해 과소 평가되는 경향을 보였다. 이로부터 TOUGH-FLAC 기법을 이용한 수치모사 시 역학해석의 체적 변형률 정보가 유체거동 계산에 반영된, 즉 관련된 지배방정식들의 연계항이 완전한 형태로 반영된 연계해석이 필요함을 알 수 있었다. 공극 내 물의 온도 및 압력 조건에 따른 상변화를 적용한 경우에는 해석해와 다른 형태의 유체압력 시간이력을 보이는 것으로 나타나 본 연구의 벤치마크 문제를 풀기 위해서는 상전이가 발생하지 않도록 물의 상태방정식 부분의 변경이 필요한 것으로 검토되었다. 명시적 기법에 기반한 TOUGH-FLAC 기법의 시간증분이 복합거동 계산에 미치는 영향을 분석한 결과, 시간증분이 커짐에 따라 유체압력의 발생 경향이 불규칙적이고 해석해에 비해 다소 과소 평가되는 경향을 보여 TOUGH-FLAC 연계해석 시 시간증분의 영향이 검토될 필요가 있는 것을 알 수 있었다.

본 연구에서 분석된 대로 서로 독립적인 수치코드들을 이용하여 복합거동 연계해석을 수행하는 경우 재료거동 지배방정식들을 구성하는 연계항들이 수치계산 시 적절히 반영되는지 확인할 필요가 있다. TOUGH는 열 및 유체 흐름을 모사하기 위해 개발된 수치코드이므로 FLAC3D의 역학 계산으로부터 얻어지는 연계해석 정보(공극률, 체적 변형률 등)가 TOUGH 코드에 반영되도록 연계해석 알고리즘이 작성될 필요가 있다. TOUGH-FLAC 시뮬레이터에 의해 실내 및 현장실험 측정자료에 기반한 벤치마크 테스트를 수행하거나 본 연구에서와 같이 해석해에 기반한 벤치마킹을 수행하는 경우, 역학해석의 계산자료가 열-수리해석 시 적절히 반영되는지 관련 내용을 제시할 필요가 있을 것으로 판단된다.