Improving the Accuracy of the Mohr Failure Envelope Approximating the Generalized Hoek-Brown Failure Criterion

Youn-Kyou Lee

doi:10.7474/TUS.2024.34.4.355

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Original Article

Tunnel and Underground Space. 31 August 2024. 355-373
https://doi.org/10.7474/TUS.2024.34.4.355

Improving the Accuracy of the Mohr Failure Envelope Approximating the Generalized Hoek-Brown Failure Criterion

일반화된 Hoek-Brown 파괴기준식의 근사 Mohr 파괴포락선 정확도 개선

Youn-Kyou Lee¹^*

이 연규¹^*

¹Professor, Department of Coastal Construction Engineering, Kunsan National University

¹국립군산대학교 해양건설공학과 교수

^{*Corresponding Author}

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/):

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

ABSTRACT

The Generalized Hoek-Brown (GHB) criterion is a nonlinear failure criterion specialized for rock engineering applications and has recently seen increased usage. However, the GHB criterion expresses the relationship between minimum and maximum principal stresses at failure, and when GSI≠100, it has disadvantage of being difficult to express as an explicit relationship between the normal and shear stresses acting on the failure plane, i.e., as a Mohr failure envelope. This disadvantage makes it challenging to apply the GHB criterion in numerical analysis techniques such as limit equilibrium analysis, upper-bound limit analysis, and the critical plane approach. Consequently, recent studies have attempted to express the GHB Mohr failure envelope as an approximate analytical formula, and there is still a need for continued interest in related research. This study presents improved formulations for the approximate GHB Mohr failure envelope, offering higher accuracy in predicting shear strength compared to existing formulas. The improved formulation process employs a method to enhance the approximation accuracy of the tangential friction angle and utilizes the tangent line equation of the nonlinear GHB failure envelope to improve the accuracy of shear strength approximation. In the latter part of this paper, the advantages and limitations of the proposed approximate GHB failure envelopes in terms of shear strength prediction accuracy and calculation time are discussed.

Keywords

Mohr failure envelope

Hoek-Brown criterion

Shear strength

Tangential friction angle

Taylor approximation

일반화된 Hoek-Brown (GHB) 식은 암반공학적 활용에 특화된 비선형 파괴기준식이며 최근 활용 빈도가 증가하고 있다. 그러나 GHB 식은 파괴 시점의 최소주응력과 최대주응력의 관계식이며 GSI≠100이면 파괴면에 작용하는 수직응력과 전단응력의 명시적 관계식 즉, Mohr 파괴포락선식으로 표현이 어렵다는 단점을 가지고 있다. 이 단점으로 인해 GHB 식을 한계평형해석, 상계한계해석, 임계평면법 등과 같은 수치해석기법에 적용하는 것이 쉽지 않다. 이에 따라 최근 GHB Mohr 파괴포락선을 근사적인 해석식으로 표현하려는 연구가 시도되고 있으며 관련 연구에 대한 지속적 관심이 여전히 필요하다. 이 연구에서는 기존 식보다 전단강도 예측 정확도가 높은 근사 GHB Mohr 파괴포락선 수식화 방법을 제시하였다. 개선된 수식화 과정에서는 접선마찰각의 근사 정확도를 높이는 방법과 비선형 GHB 파괴포락선의 접선식을 활용하여 전단강도 근사값의 정확도를 높이는 방법이 이용되었다. 이 논문의 후반부에서는 전단강도 예측 정확성과 계산시간 측면에서 제안된 근사 GHB 파괴포락선들의 장단점을 논의하였다.

키워드

Mohr 파괴포락선

Hoek-Brown 파괴기준식

전단강도

접선마찰각

Taylor 근사

MAIN

1. 서 론
2. GHB 파괴기준식
2.1 주응력으로 표시한 GHB 파괴기준식
2.2 수직응력 – 전단응력 공간에서의 표시법
3. 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 정확도 개선
3.1 수직응력에 따라 가변적인 ζ₀의 활용
3.2 GHB Mohr 파괴포락선의 접선식 활용
4. 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 정확성 및 활용성 고찰
5. 결 론

1. 서 론

오늘날 표준 암석파괴기준식의 하나로 인정받고 있는 Hoek-Brown (HB) 식(Hoek and Brown, 1980)은 삼축압축시험 조건에서 구속압의 변화에 따른 파괴 축응력의 크기를 예측하는 비선형 암석파괴기준식이며, 여러 번의 개정(Hoek and Marinos, 2007)을 거쳐 2002년 일반화된 Hoek-Brown (Generalized Hoek-Brown, GHB) 식 (Hoek et al., 2002)으로 변화되었다. HB 식은 본래 절리를 포함하지 않는 무결 암석을 적용 대상으로 하였지만 GHB 식의 적용 범위는 거시적으로 등방성인 절리 암반까지 넓어졌다. GHB 파괴기준식에서는 절리의 공간적 분포 특성과 절리면의 상태를 정량화하는 GSI (Geological Strength Index, Marinos and Hoek, 2000) 지수를 이용하여 강도정수 값이 결정된다. 그러므로 GHB 파괴기준식은 현장 지질 조건이 반영된 파괴강도를 계산한다는 장점을 가지고 있다. 그러나 GSI≠100이면 GHB 파괴기준식은 수직응력과 전단강도의 명시적 관계식 즉, Mohr 파괴포락선식(failure envelope)로 전환이 어렵다는 단점이 있다. 한계평형해석(limit equilibrium analysis, Wyllie, 2017), 상계한계해석(upper bound limit analysis, Chen, 2008), 임계평면법(Pietruszczak and Mroz, 2001) 등을 포함한 다양한 암반공학 수치해석 기법에 GHB 파괴기준식이 쉽게 활용되기 위해서는 GSI 값 전체 범위에서 정확성이 보장되는 GHB Mohr 파괴포락선식의 제시가 필요하다. 이에 따라 GHB 파괴기준식의 발표 이후부터 이 식의 Mohr 파괴포락선을 해석적 수식 형태로 표현하고자 하는 연구가 시도되고 있다. 그러나 지금까지 제시된 대부분의 GHB Mohr 파괴포락선식들은 완전한 형태의 명시적 전단강도-수직응력 관계식으로 분류되기 어렵다(Sofianos and Nomikos, 2006, Shen et al., 2012a, Shen et al., 2012b).

GHB 파괴기준식에 내포된 수직응력과 전단강도의 관계는 접선마찰각(tangential friction angle)을 매개변수로 하는 매개방정식 형태로 표시할 수 있다(Kumar, 1998, Lee, 2014). 이는 파괴면에 작용하는 수직응력과 전단강도를 접선마찰각의 함수로 표시할 수 있음을 의미한다. 그러나 GHB 파괴기준식에 내포된 수직응력-접선마찰각 관계식은 접선마찰각이 수직응력의 해석적 함수로 표시되기 어려운 비선형 방정식이다. 즉, 주어진 수직응력에 대응되는 접선마찰각의 정해(closed-form solution)를 해석적 수식으로 표현하기 어렵다. 이러한 이유로 GSI≠100일 경우 GHB Mohr 파괴포락선을 명시적인 해석적 수식으로 표현하는 것이 곤란하다. 접선마찰각을 매개변수로 하는 GHB Mohr 파괴포락선식을 암반 구조물 안정성 해석에 직접 사용할 경우(Park and Michalowski, 2021, Park, 2023) 임의 수직응력에 대응되는 접선마찰각을 구하기 위해 수많은 반복 계산이 필요한 수치해석 기법의 적용이 불가피하므로 전체적으로 해석시간이 과도하게 길어질 수 있다. GHB 파괴기준식이 갖는 이러한 제약을 극복하기 위해 수직응력-접선마찰각 관계식을 정해가 존재하는 3차 다항식으로 근사시키는 방법이 Lee and Pietruszczak(2017)와 Lee(2018)에 의해 최근 시도되었고, 이 근사식을 이용하여 수식화한 명시적 GHB Mohr 파괴포락선식의 정확도는 전체 GSI 범위에서 매우 뛰어난 것으로 확인되었다. Lee and Pietruszczak(2024)는 횡등방성 암석에서 발생하는 파괴면 방향 특성을 분석하기 위해 Lee and Pietruszczak(2017)의 근사 GHB Mohr 파괴포락선식을 횡등방성 파괴포락선식으로 확장시킨 후 이를 임계평면법에 적용하기도 하였다. 그러나 근사 GHB Mohr 파괴포락선식의 개발에 대한 연구는 아직 초기 단계로서 산업계와 학계에서 모두 인정하는 표준 GHB Mohr 파괴포락선식은 아직 확립되지 못하고 있는 실정이다. 이에 따라 전단강도 예측값의 정확도와 수치계산의 효율성 측면을 동시에 고려하는 관련 연구의 지속이 필요하다.

이 논문에서는 Lee and Pietruszczak(2017)가 제시한 근사 GHB Mohr 파괴포락선식의 수식화 절차를 재정의하였으며, 이를 바탕으로 파괴전단강도 예측 성능을 더욱 높일 수 있는 새로운 근사 GHB Mohr 파괴포락선 수식화 방법을 제시하였다. 먼저 GSI=100일 때 수직응력의 함수로 표현되는 접선마찰각의 정해를 활용하여 GSI < 100인 암반의 접선마찰각 근사 정확도를 높이는 방법을 제시하였다. 이어서 GHB Mohr 파괴포락선의 접선식을 이용하여 근사 전단강도의 정확성을 한 단계 더 높일 수 있는 Mohr 파괴포락선 수식화 절차를 제안하였다. 또한 접선식 활용 시 전단강도의 정확성이 향상되는 이유를 수학적 근사 원리에 근거하여 설명하였다. 이 논문의 후반부에서는 제안한 근사 Mohr 파괴포락선식들의 정확성과 계산 효율성을 상호 비교하였다.

2. GHB 파괴기준식

2.1 주응력으로 표시한 GHB 파괴기준식

GHB 식은 암반 파괴 시 최소주응력( $σ_{3}$ )과 최대주응력( $σ_{1}$ )의 관계를 비선형식 (1)로 정의하며 중간주응력( $σ_{2}$ )이 파괴강도에 미치는 영향을 고려하지 않는다.

(1)

σ_{1} = σ_{3} + σ_{c i} {(m_{b} \frac{σ_{3}}{σ_{c i}} + s)}^{a}

여기서 $σ_{c i}$ 는 무결암(intact rock)의 일축압축강도이다. 또한 $m_{b}$ , $s$ , $a$ 는 GSI 값을 이용하여 결정하는 GHB 식 고유의 강도정수이며, 이를 위해 다음 경험식들이 제안되었다(Hoek et al., 2002).

(2)

m_{b} = m_{i} \exp (\frac{G S I - 100}{28 - 14 D}); s = \exp (\frac{G S I - 100}{9 - 3 D}); a = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} [\exp (- \frac{G S I}{15}) - \exp (- \frac{20}{3})]

위 식에서 $m_{i}$ 는 암종과 구성 입자의 굵기 특성이 반영된 무결암의 강도정수이다(Brady and Brown, 2004). $D$ 는 발파나 응력이완에 기인한 암반교란 정도를 정량화한 지수로서 0(무교란)과 1(심하게 교란) 사이의 값을 갖는다. GSI =100 이면 $m_{b} = m_{i}$ , s=1, a=0.5가 되므로 이 경우 식 (1)은 파쇄되지 않은 무결암의 파괴기준식 즉, 1980년에 제안된 본래의 HB 식이 됨을 알 수 있다.

한편 수직응력( $σ$ )의 무차원화를 위하여 Rojat et al.(2015)이 제안한 응력 변환 관계식 (3)을 이용하면 식 (1)은 원점을 지나는 곡선식 (4)로 단순화된다.

(3)

S = {m_{b}}^{a / (a - 1)} (\frac{σ}{σ_{c i}}) + {m_{b}}^{1 / (a - 1)} s

(4)

S_{1} = S_{3} + {S_{3}}^{a}

식 (4)에서 $S_{1}$ 과 $S_{3}$ 는 각각 $σ_{1}$ 과 $σ_{3}$ 에 대응되는 무차원 수직응력이다. Fig. 1에 식 (1)과 식 (4)를 도시하였으며, 그림에서 $ϕ_{i}$ 와 $c_{i}$ 는 각각 접선마찰각과 접선점착력(tangential cohesion)이다. 서로 대응되는 지점에서 두 곡선의 접선기울기는 $(1 + \sin ϕ_{i}) / (1 - \sin ϕ_{i})$ 으로 동일하다. 한편, 식 (4)는 $S_{3} - S_{1}$ 공간에서 GHB 파괴기준식의 곡선 모양이 강도정수 a에 의해 결정된다는 것을 말해준다.

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Fig. 1.

GHB failure criterion and its tangent line in (a) $σ_{3} - σ_{1}$ space and (b) in dimensionless stress space $S_{3} - S_{1}$

2.2 수직응력 – 전단응력 공간에서의 표시법

GHB 파괴기준식은 파괴 시점의 두 주응력 $σ_{1}$ 과 $σ_{3}$ 의 관계식이지만 암반 구조물의 파괴 안전율 평가에 자주 이용되는 한계평형해석이나 상계한계해석 등에 이 파괴기준식이 수월하게 적용되기 위해서는 파괴면의 전단강도( $τ_{f}$ )와 파괴면에 작용하는 수직응력( $σ_{n}$ )의 관계식 즉, Mohr 파괴포락선식으로 전환이 필요하다. Fig. 2(a)는 Mohr원과 파괴포락선의 관계를 보여준다. 다수의 Mohr원에 공통으로 접하는 곡선이 Mohr 파괴포락선이 되며 Mohr-Coulomb 파괴기준식의 경우와 달리 GHB 파괴기준식의 Mohr 파괴포락선은 비선형 곡선이다. Fig. 2(b)는 무차원 응력 공간에서 Mohr원과 GHB Mohr 파괴포락선을 도시한 것으로 파괴포락선은 원점에서 시작된다. 이 그림에서 수평축은 식 (3)으로 정의되는 무차원 수직응력(S)을 의미하며 연직축은 다음 식 (5)로 정의되는 무차원 전단응력(T)(Lee, 2018, Lee and Pietruszczak, 2017)을 나타낸다.

(5)

T = {m_{b}}^{a / (a - 1)} (\frac{τ}{σ_{c i}})

GSI≠100이면 GHB Mohr 파괴포락선을 명시적인 해석식으로 표현하기 어렵지만 $ϕ_{i}$ 를 매개변수로 활용하면 Fig. 2에 표시한 $σ_{n} - τ_{f}$ 관계 또는 $S_{n} - T_{f}$ 관계를 기술할 수 있다(Lee, 2018, Lee and Pietruszczak, 2017). 여기서 $S_{n}$ 과 $T_{f}$ 는 각각 $σ_{n}$ 과 $τ_{f}$ 에 대응하는 무차원 응력을 의미한다.

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Fig. 2.

GHB failure envelope and its tangent line in (a) $σ - τ$ space (Adapted from Lee and Pietruszczak, 2024) and (b) in dimensionless stress space $S - T$

$ζ = \sin ϕ_{i}$ 라 하면 식 (4)와 Fig. 1(b)로부터

(6)

\frac{d S_{1}}{d S_{3}} = 1 + a {S_{3}}^{a - 1} = \frac{1 + ζ}{1 - ζ}

이므로 $S_{3}$ 는 $ζ$ 의 함수로 다음 식 (7)과 같이 표현될 수 있다.

(7)

S_{3} = {(\frac{a}{2} \frac{1 - ζ}{ζ})}^{1 / (1 - a)}

이제 Fig. 2(b)를 참조하고 식 (4)와 식 (7)을 이용하면 $S_{n}$ 과 $T_{f}$ 는 매개변수 $ζ$ 를 이용하여 각각 다음 식 (8)과 식 (9)으로 나타낼 수 있다.

(8)

S_{n} = \frac{S_{1} + S_{3}}{2} - \frac{S_{1} - S_{3}}{2} \sin ϕ_{i} = (1 + \frac{ζ}{a}) {(\frac{a}{2} \frac{1 - ζ}{ζ})}^{1 / (1 - a)}

(9)

T_{f} = \frac{S_{1} - S_{3}}{2} \cos ϕ_{i} = \frac{\sqrt{1 - ζ^{2}}}{2} {(\frac{a}{2} \frac{1 - ζ}{ζ})}^{a / (1 - a)}

GSI=100이면 a=0.5이므로 식 (8)이 $ζ$ 에 대한 3차 방정식이 되어 $ζ$ 를 $S_{n}$ 의 함수로 정확하게 표현하는 것이 가능하며 그 결과는 식 (10)과 같다.

(10)

ζ = (\frac{16 S_{n} + 3}{3}) \cos (\frac{θ + 4 π}{3}) + (\frac{16 S_{n} + 3}{6})

여기서

(11)

θ = a c o s [\frac{4096 {S_{n}}^{3} + 2304 {S_{n}}^{2} + 432 S_{n} - 27}{{(16 S_{n} + 3)}^{3}}]

이제 식 (10)을 식 (9)에 대입하면 매개변수를 이용하지 않는 명시적인 $S_{n} - T_{f}$ 관계식을 얻을 수 있다. 무차원 응력을 정의하는 식 (3)과 식 (5)를 이용하면 이 결과식은 다시 명시적인 $σ_{n} - τ_{f}$ 관계식 즉, 명시적인 Mohr 파괴포락선식이 된다. 수식화 방법에서 조금씩 차이가 있지만 a=0.5인 경우에 해당하는 HB식의 명시적 Mohr 파괴포락선식은 Hoek(1983)와 Ucar(1986) 그리고 저자의 선행연구(Lee, 2018, Lee 2021, Lee and Pietruszczak, 2017, Lee and Pietruszczak, 2021)에서도 유도되었다.

2.2.1 $ϕ_{i} - c_{i}$ 관계식

Fig. 2에서 볼 수 있듯이 GHB Mohr 파괴포락선에 접하는 접선의 방정식은 $σ - τ$ 공간과 $S - T$ 공간에서 접선마찰각( $ϕ_{i}$ )과 접선점착력( $c_{i}$ )을 이용하여 각각 다음 식 (12)과 (13)로 표현할 수 있다.

(12)

τ_{f} = σ_{n} \tan ϕ_{i} + c_{i}

(13)

T_{f} = S_{n} \tan ϕ_{i} + C_{i}

식 (13)의 $C_{i}$ 는 무차원 접선점착력에 해당하며 $ϕ_{i}$ 와 $c_{i}$ 그리고 GHB 강도정수들을 이용하여 다음 식으로 표시할 수 있다.

(14)

C_{i} = {m_{b}}^{a / (a - 1)} (\frac{c_{i}}{σ_{c i}}) - {m_{b}}^{1 / (a - 1)} s \tan ϕ_{i}

식 (8), 식 (9), 식 (14)를 식 (13)에 대입하면 GHB 파괴기준식에 내포된 $ϕ_{i}$ 와 $c_{i}$ 의 관계식이 다음 식 (15)와 같이 얻어진다.

(15)

\frac{c_{i}}{σ_{c i}} = \frac{\sqrt{1 - ζ^{2}}}{2} {(\frac{a m_{b}}{2} \frac{1 - ζ}{ζ})}^{a / (1 - a)} + \frac{s}{m_{b}} \frac{ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} - {m_{b}}^{a / (1 - a)} \frac{ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} {(\frac{a}{2} \frac{1 - ζ}{ζ})}^{1 / (1 - a)} (1 + \frac{ζ}{a})

Yang et al.(2004), Yang and Yin(2005), Lee(2014), Lee and Pietruszczak(2017)도 식 (15)와 동일한 결과식을 유도하였으며, 이 식은 GHB 파괴기준식을 상계한계해석법에 적용하기 위한 중요한 도구로 사용되었다(Park and Michalowski, 2019, AlKhafaji et al., 2020, Imani and Aali, 2020).

2.2.2 근사 GHB Mohr 파괴포락선

GHB Mohr 파괴포락선을 명시적 해석식으로 표현하기 위해서는 식 (8)과 식 (9)를 연결하는 매개변수 $ζ$ 가 소거되어 $T_{f}$ 가 $S_{n}$ 의 함수로 표시되어야 한다. 그러나 GSI≠100이면 식 (8)에서 $ζ$ 를 $S_{n}$ 의 양함수 형식으로 정확히 표현하는 것이 어렵기 때문에 대신 $ζ$ 를 $S_{n}$ 의 양함수 형식으로 근사시켜 Mohr 파괴포락선식을 구현하려는 연구가 시도되고 있다(Lee and Pietruszczak, 2017, Lee, 2018). 이 연구에서는 Lee and Pietruszczak(2017)의 방법과 유사하게 Taylor 다항함수 근사 원리를 활용하여 식 (8)의 근사해 $\hat{ζ}$ 를 계산하는 해석식을 다음의 절차에 따라 유도하였다.

식 (8)은 다음 식 (16)의 형태로 변형될 수 있다.

(16)

(1 - ζ) h (ζ) - \tilde{S_{n}} ζ = 0

여기서

(17)

h (ζ) = {(a + ζ)}^{1 - a}

(18)

\tilde{S_{n}} = 2 a^{- a} {S_{n}}^{1 - a}

Fig. 3은 GSI 값의 변화에 따른 함수 $h (ζ)$ 의 형상 변화를 보여준다. $h (ζ)$ 가 전체 구간 $0 \leq ζ \leq 1$ 에서 완만하게 변하는 포물선 형태라는 점에 주목하여 $h (ζ)$ 를 2차 다항식으로 근사시키면 식 (16)은 정해가 알려진 3차 다항식으로 변환될 수 있다. 이에 따라 임의 점 $ζ_{0} \in [0, 1]$ 를 중심으로 하는 $h (ζ)$ 의 Taylor 2차 다항식 전개 결과인 다음 식 $\hat{h} (ζ)$ 를 $h (ζ)$ 의 근사식으로 이용하였다.

(19)

\hat{h} (ζ) = {(a + ζ_{0})}^{1 - a} + (1 - a) {(a + ζ_{0})}^{- a} (ζ - ζ_{0}) - \frac{a (1 - a)}{2} {(a + ζ_{0})}^{- (a + 1)} {(ζ - ζ_{0})}^{2}

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Fig. 3.

Shapes of the function $h (ζ)$ , . (17), for different GSIvalues

Fig. 4는 GSI=60일 때 $ζ_{0}$ = $\sin (30 °)$ 와 $ζ_{0}$ = $\sin (60 °)$ 를 적용한 Taylor 근사식 $\hat{h} (ζ)$ 를 본래 식 $h (ζ)$ 와 비교 도시한 결과를 보여준다. $ζ_{0}$ = $\sin (30 °)$ =0.5의 경우 전체 접선마찰각 범위 즉, $0 \leq ζ \leq 1$ (또는 $0 ° \leq ϕ_{i} \leq 90 °$ )에서 $\hat{h} (ζ)$ 의 $h (ζ)$ 에 대한 근사성이 매우 우수함을 보여준다. $ζ_{0}$ = $\sin (60 °)$ ≃0.8660의 경우 접선마찰각 범위 $0.4 \leq ζ \leq 1$ (또는 $23.6 ° \leq ϕ_{i} \leq 90 °$ )에서 $\hat{h} (ζ)$ 는 $h (ζ)$ 와 거의 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 암반 구조물 안정성 평가 시 고려되는 비선형 Mohr 파괴포락선의 접선마찰각은 대략 $20 ° \leq ϕ_{i} \leq 90 °$ 범위에 있다고 가정할 수 있으므로 $h (ζ)$ 는 적절한 $ζ_{0}$ 를 선정하여 2차 다항식 (19)로 근사 표현될 수 있음을 Fig. 4는 잘 보여준다.

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Fig. 4.

Second-order Taylor approximations of the function $h (ζ)$ with expansion centers at (a) $ζ_{0} = \sin (30 °)$ and (b) $ζ_{0} = \sin (60 °)$

이제 식 (16)의 $h (ζ)$ 를 $\hat{h} (ζ)$ 로 대체하면 다음과 같은 3차 방정식이 얻어진다.

(20)

(1 - ζ) \hat{h} (ζ) - \tilde{S_{n}} ζ = 0 \Rightarrow ζ^{3} + k_{1} ζ^{2} + k_{2} ζ + k_{3} = 0

여기서

(21)

k_{1} = - \frac{2 (1 + a) ζ_{0} + 3 a}{a}

(22)

k_{2} = \frac{- a (1 + a) {ζ_{0}}^{2} + 2 (1 + a) (1 - 2 a) ζ_{0} + 2 a (1 - 2 a)}{a (1 - a)} - \frac{2 {(a + ζ_{0})}^{1 + a}}{a (1 - a)} \tilde{S_{n}}

(23)

k_{3} = \frac{(1 + a) {ζ_{0}}^{2} + 2 (1 + a) ζ_{0} + 2 a}{1 - a}

그러므로 식 (20)의 해를 $\hat{ζ}$ 라 하면 $\hat{ζ}$ 는 식 (16)을 만족하는 정해 $ζ$ 의 근사해로 간주할 수 있다. 3차 방정식 (20)의 해 $\hat{ζ}$ 는 다음 식 (24)와 같다.

(24)

\hat{ζ} = \frac{2}{3} \sqrt{{k_{1}}^{2} - 3 k_{2}} \cos (\frac{θ + 4 π}{3}) - \frac{k_{1}}{3}

여기서

(25)

θ = a c o s [\frac{- 2 {k_{1}}^{3} + 9 k_{1} k_{2} - 27 k_{3}}{2 {({k_{1}}^{2} - 3 k_{2})}^{3 / 2}}]

이제 식 (24)의 $\hat{ζ}$ 를 식 (9)의 $ζ$ 로 간주하고 전단응력 무차원화 변환식 (5)를 고려하면 GHB Mohr 파괴포락선의 명시적 근사식은 아래와 같은 해석적 수식 (26)으로 표시될 수 있다. Lee and Pietruszczak(2017)의 연구에서도 유사한 접근법을 적용하여 이와 동일한 결과식이 유도되었다.

(26)

τ_{f, a p p r o x} = {m_{b}}^{a / (1 - a)} σ_{c i} \frac{\sqrt{1 - \hat{ζ^{2}}}}{2} {(\frac{a}{2} \frac{1 - \hat{ζ}}{\hat{ζ}})}^{a / (1 - a)}

$m_{i} = 20$ , D=0을 가정하고 2가지 $ζ_{0}$ 값 즉, $ζ_{0} = \sin (30 °)$ 과 $ζ_{0} = \sin (60 °)$ 을 이용하여 식 (26)으로 계산한 근사 GHB Mohr 파괴포락선을 수치해석적으로 구한 정해 Mohr 파괴포락선과 함께 Fig. 5에 도시하였다. 이 그림에 제시된 GHB Mohr 파괴포락선들은 수직응력과 전단강도 값을 $σ_{c i}$ 로 정규화시켜 도시한 것이다.

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Fig. 5.

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes for two different $ζ_{0}$ values against numerically calculated exact envelopes : (a) $ζ_{0} = \sin (30 °) = 0.5$ and (b) $ζ_{0} = \sin (60 °) \approx 0.8660$

$ζ_{0} = \sin (30 °)$ 의 경우 5가지 GSI 값 즉, 20, 40, 60, 80, 100에 해당하는 근사 GHB Mohr 파괴포락선 모두는 정해 Mohr 포락선과 구분이 어려울 정도의 정확성을 보여준다. $ζ_{0} = \sin (60 °)$ 의 경우에도 전체 GSI 범위에서 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 정확성이 매우 우수함을 확인할 수 있으나 GSI 값이 20과 40일 때는 수직응력의 증가 즉, $σ_{n} / σ_{c i}$ 값이 1에 가까워짐에 따라 근사 Mohr 파괴포락선과 정해 Mohr 파괴포락선 사이에 미세한 차이가 나타남을 확인할 수 있다. 따라서 0.5 근방의 $ζ_{0}$ 값을 선택할 경우 근사 GHB Mohr 파괴포락선식 (26)은 정해 파괴포락선을 매우 정확하게 근사한다는 사실을 Fig. 5는 잘 보여준다. Fig. 6은 Fig. 5(a)에 도시한 근사 GHB Mohr 파괴포락선들의 백분율 오차 $| τ_{f, a p p r o x} - τ_{f, e x a c t} | / τ_{f, e x a c t} \times 100$ 를 보여준다. 그래프에서 백분율 오차가 가장 낮은 지점들은 GHB Mohr 파괴포락선에서 접선마찰각이 $30 °$ 인 지점들에 해당한다. 최대 백분율 오차는 파괴포락선의 시작점 부근에서 발생하지만 시작점 부근의 오차 크기도 0.8% 미만인 것으로 나타났다.

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Fig. 6.

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x}$ from Eq. (26) for $ζ_{0} = 0.5$

3. 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 정확도 개선

3.1 수직응력에 따라 가변적인 ζ₀의 활용

Taylor 근사식 (19)에 포함된 $ζ_{0}$ 가 적절하게 선정될 경우 근사 GHB Mohr 파괴포락선식 (26)의 정확도가 매우 뛰어남을 2.2.2절에서 확인하였다. 그러나 고정값 $ζ_{0}$ 를 사용하면 식 (26)으로 계산되는 근사 파괴전단강도( $τ_{f, a p p r o x}$ )의 정확성은 수직응력( $σ_{n}$ )의 크기에 따라 차이를 나타낸다. 예를 들어 Fig. 4(b)에서는 $ζ_{0} = \sin (60 °) \approx 0.8660$ 를 선정하였으므로 접선마찰각 $ϕ_{i}$ 의 크기가 큰 범위 $0.4 \leq ζ \leq 1$ 에서는 $\hat{h} (ζ)$ 의 $h (ζ)$ 에 대한 근사 정도가 매우 우수하고 $ϕ_{i}$ 의 크기가 작은 $0 \leq ζ \leq 0.4$ 범위에서는 $\hat{h} (ζ)$ 의 근사 정확도가 상대적으로 낮다. Fig. 5(b)에서 GSI=20과 GSI=40에 해당하는 근사 Mohr 파괴포락선이 정해 Mohr 파괴포락선과 가시적인 차이를 보여주는 것은 이러한 근사 특성이 반영된 결과이다. 비선형 GHB Mohr 파괴포락선에서 $ϕ_{i}$ 의 크기는 $σ_{n} / σ_{c i}$ 가 증가할수록 그리고 GSI 값이 작을수록 감소한다. 따라서 $σ_{n} / σ_{c i}$ 값이 1에 근접하는 영역에서 두 근사 Mohr 파괴포락선은 대응되는 정해 Mohr 파괴포락선과 가시적인 차이를 보여주고 있다. 그러나 $σ_{n} / σ_{c i}$ 값이 작은 영역 즉, $ϕ_{i}$ 의 크기가 큰 영역에서는 두 근사 Mohr 파괴포락선이 정해 파괴포락선과 구분이 어려울 정도로 겹치고 있다. Fig. 5(b)에서 GSI=60, 80, 100에 해당하는 근사 Mohr 파괴포락선은 GSI=20과 GSI=40의 경우에 비해 곡선의 기울기 즉, $ϕ_{i}$ 의 크기가 상대적으로 크므로 전체 $σ_{n} / σ_{c i}$ 값 범위에서 정해 파괴포락선과 일치성이 뛰어남을 보여준다.

앞 단락의 논의를 통해 근사 GHB Mohr 파괴포락선식 (26)으로 계산한 $τ_{f, a p p r o x}$ 값의 정확성이 $ζ_{0}$ 의 선정과 밀접히 관련된다는 것을 알 수 있다. 즉, 정해 Mohr 파괴포락선에서 임의 $σ_{n}$ 값에 해당하는 정해 접선마찰각과 가능한 근접하는 마찰각의 sine 값을 $ζ_{0}$ 로 선정하여야 $σ_{n}$ 에 대응되는 근사 파괴전단강도 $τ_{f, a p p r o x}$ 의 정확성이 높아진다는 점이 자명하다. 이 사실에 착안하여 이 연구에서는 근사 GHB Mohr 파괴포락선식을 구성하는 식(21), 식(22), 식(23)에서 고정값 $ζ_{0}$ 을 사용하는 대신 수직응력 $σ_{n}$ 에 따라 $ζ_{0}$ 값에 변화를 주는 방법을 새롭게 제시하였다.

GSI=100일 때 $σ_{n}$ 에 대응되는 $ζ$ 은 정해 식 (10)으로 표시되므로 이를 $ζ_{0}$ 로 활용하면 $σ_{n}$ 에 따라 변하는 $ζ_{0}$ 값을 다음 식으로 계산할 수 있다.

(27)

ζ_{0} = (\frac{16 S_{n 0} + 3}{3}) \cos (\frac{θ_{0} + 4 π}{3}) + (\frac{16 S_{n 0} + 3}{6})

여기서

(28)

θ_{0} = a c o s [\frac{4096 {S_{n 0}}^{3} + 2304 {S_{n 0}}^{2} + 432 S_{n 0} - 27}{{(16 S_{n 0} + 3)}^{3}}]

(29)

S_{n o} = \frac{1}{m_{b}} (\frac{σ_{n}}{σ_{c i}}) + \frac{s}{{m_{b}}^{2}}

식 (27)의 $ζ_{0}$ 는 $σ_{n}$ 에 대응되는 실제 접선마찰각의 sine 값과 큰 차이를 보이지 않으므로 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 이용하여 식 (26)으로 근사 파괴전단강도 $τ_{f, a p p r o x}$ 를 계산하면 고정값 $ζ_{0}$ 을 이용하는 경우에 비해 전체 $σ_{n}$ 구간에서 더 정확한 $τ_{f, a p p r o x}$ 값 계산이 가능해진다.

Fig. 7은 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 사용하여 계산한 근사 GHB Mohr 파괴포락선을 정해 Mohr 파괴포락선과 비교하여 도시한 것이다. Fig. 5(a)의 경우처럼 근사 Mohr 파괴포락선과 정해 Mohr 파괴포락선은 서로 겹쳐 구분이 힘들다. 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 이용하여 근사 파괴포락선을 계산할 때 얻어지는 정확도 향상 정도를 보다 정량적으로 분석하기 위하여 Fig. 7에 도시한 근사 Mohr 파괴포락선들의 백분율 오차를 계산하였고 그 결과를 Fig. 8에 제시하였다. 전체적으로 백분율 오차의 차수는 –4 이하임을 보여준다. 고정 값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 사용하는 경우의 백분율 오차를 보여주는 Fig. 6과 비교할 때 백분율 오차의 차수가 적어도 4 이상 줄어들었음을 Fig. 8에서 확인할 수 있다. 또한 백분율 오차는 GSI 값이 커짐에 따라 작아지는 경향을 잘 보여준다. 이는 GSI 값이 커질수록 정해 Mohr 파괴포락선의 접선마찰각이 식 (27)으로 계산되는 마찰각 $\sin^{- 1} (ζ_{0})$ 에 가까워지기 때문이다. GSI=100일 때 식 (27)을 이용하여 계산한 근사 Mohr 파괴포락선은 정해 Mohr 파괴포락선과 완전히 일치하므로 Fig. 8에서 GSI=100에 해당하는 백분율 오차 곡선의 수치들은 차수가 약 -20으로 거의 0에 가까운 값이다. 이 그래프를 구성하는 미소 수치들은 컴퓨터 유효숫자 개수 제약 때문에 발생한 수치계산의 오차를 의미한다.

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Fig. 7.

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes with numerically calculated exact envelopes; Eq. (27) is used for $ζ_{0}$ in Eq. (26)

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Fig. 8.

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x}$ from Eq. (26) with $ζ_{0}$ from Eq. (27)

3.2 GHB Mohr 파괴포락선의 접선식 활용

주어진 수직응력 $σ_{n}$ 에 대응되는 GHB 암반의 전단강도( $τ_{f}$ )는 접선마찰각( $ϕ_{i}$ )와 접선점착력( $c_{i}$ )를 이용하여 다음 식 (30)과 같이 함축적으로 표현할 수 있다.

(30)

τ_{f} = σ_{n} \tan ϕ_{i} + c_{i}

한편, GHB 파괴기준식에서 $c_{i}$ 는 식 (15)와 같이 $ϕ_{i}$ 즉, $ζ$ 의 함수로 표현될 수 있다. 따라서 GHB 암반의 전단강도 $τ_{f}$ 는 $σ_{n}$ 과 $ζ$ 를 이용하여 표현하는 것이 가능하다. 또한 식 (8)에서 확인할 수 있듯이 $ζ$ 가 $σ_{n}$ 의 함수이므로 $τ_{f}$ 는 결국 단일변수 $σ_{n}$ 의 함수이다. 그러나 $σ_{n}$ 에 해당하는 $ζ$ 의 해석적 정해를 구하는 것이 어렵기 때문에 근사식 (24)를 대신 이용하면 접선방정식 (30)을 기반으로 하는 개선된 근사 전단강도( $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ ) 계산식이 다음 식 (31)과 같이 얻어진다.

(31)

τ_{f, a p p r o x_i m p} = \frac{\hat{ζ}}{1 - {\hat{ζ}}^{2}} σ_{n} + \frac{σ_{c i} \sqrt{1 - {\hat{ζ}}^{2}}}{2} {(\frac{a m_{b}}{2} \frac{1 - \hat{ζ}}{\hat{ζ}})}^{a / (1 - a)} + \frac{σ_{c i} s}{m_{b}} \frac{\hat{ζ}}{\sqrt{1 - {\hat{ζ}}^{2}}} - σ_{c i} {m_{b}}^{a / (1 - a)} \frac{\hat{ζ}}{\sqrt{1 - {\hat{ζ}}^{2}}} {(\frac{a}{2} \frac{1 - \hat{ζ}}{\hat{ζ}})}^{1 / (1 - a)} (1 + \frac{\hat{ζ}}{a})

식 (24)로 계산한 근사 접선마찰각 $ϕ_{i, a p p r o x} = \sin^{- 1} (\hat{ζ})$ 은 $σ_{n}$ 에 대응되는 정확한 접선마찰각 $ϕ_{i, e x a c t} = \sin^{- 1} (ζ)$ 의 근사값으로서 $ϕ_{i, e x a c t}$ 와 근소한 차이가 있다. 근사 GHB Mohr 파괴포락선식 (26)에서는 근사값 $\hat{ζ}$ 를 이용하여 근사 파괴전단강도 $τ_{f, a p p r o x}$ 가 계산되므로 이 식으로 계산된 전단강도 값은 정해 GHB Mohr 파괴포락선 상에서 접선마찰각의 크기가 $ϕ_{i, a p p r o x}$ 인 지점의 파괴전단강도에 해당한다. 즉 (26)으로 계산된 $τ_{f, a p p r o x}$ 에 대응되는 수직응력은 정해 GHB Mohr 파괴포락선에서 $σ_{n}$ 이 아니고 $σ_{n}$ 의 근처값 ${σ_{n}}^{*} = σ_{n} \pm ∆ σ_{n}$ 이다. 여기서 $∆ σ_{n}$ 은 수직응력의 미소 변량이며 양의 값으로 가정하였다.

앞 단락에서 설명한 상황을 Fig. 9에 개념도로 제시하였다. $σ_{n}$ 에 대응되는 파괴전단강도의 정해 값 $τ_{f, e x a c t}$ 는 그림에서 $τ_{f, e x a c t} = AB$ 이다. 반면에 식 (26)으로 계산되는 근사 파괴전단강도는 $τ_{f, a p p r o x} = DE$ 이다. 하지만 식 (31)은 다음 식 (32)를 의미하므로 $τ_{f, a p p r o x_i m p} = AC$ 이다.

(32)

τ_{f, a p p r o x_i m p} = σ_{n} \tan ϕ_{i, a p p r o x} + c_{i, a p p r o x}

Fig. 9에서 $AC$ 가 $DE$ 보다 $AB$ 에 더 근접한다는 것은 자명하다. 그러므로 식 (31)을 이용하여 계산한 근사 전단강도 값 $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ 는 식 (26)을 이용하여 구한 값 $τ_{f, a p p r o x}$ 보다 전단강도 참값에 더 근접한다.

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Fig. 9.

Tangent lines to the GHB Mohr envelope: (a) $ϕ_{i, a p p r o x} < ϕ_{i, e x a c t}$ and (b) $ϕ_{i, a p p r o x} > ϕ_{i, e x a c t}$

Fig. 5(a)와 동일한 조건에서 식 (31)을 이용하여 근사 Mohr 파괴포락선을 계산하였고 그 결과를 식 (26)에 의한 결과와 비교하였다. 식 (31)로 계산된 근사 Mohr 파괴포락선은 Fig. 5(a)처럼 정해 Mohr 파괴포락선과 겹쳐 보이므로 유사한 그림의 중복을 피하기 위해 여기서는 제시하지 않았으며 대신 개선된 근사 Mohr 파괴포락선의 백분율 오차 곡선만 Fig. 10에 도시하였다. Fig. 6과 비교할 때 백분율 오차의 차수가 약 2배 이상 감소하였음을 보여준다. 그러므로 식 (31)으로 근사 파괴전단강도 값을 계산하면 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 사용하는 경우라도 거의 정해에 가까운 파괴전단강도 값이 얻어진다는 것을 Fig. 10은 잘 보여준다.

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Fig. 10.

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ from Eq. (31) for $ζ_{0}$ =0.5

Fig. 7과 동일한 조건에서 식 (31)을 이용하여 계산한 근사 파괴포락선의 백분율 오차 곡선을 Fig. 11에 제시하였다. 대응되는 Fig. 8과 비교할 때 이 경우도 역시 백분율 오차의 차수가 약 2배 정도 감소했음을 확인할 수 있으며 백분율 오차는 대략 $10^{- 10} ~ 10^{- 32}$ 범위에 있다. 그러므로 식 (27)을 $ζ_{0}$ 값으로 적용하여 식 (24)로 $\hat{ζ}$ 를 계산한 후 그 결과를 식 (31)에 적용하면 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 오차가 거의 0에 근접한다는 것을 Fig. 11은 잘 보여준다.

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Fig. 11.

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ from Eq. (31) with $ζ_{0}$ from Eq. (27)

근사 Mohr 파괴포락선식 (31)을 적용하여 계산한 $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ 의 백분율 오차 차수가 $τ_{f, a p p r o x}$ 의 경우에 비해 약 2배 감소하는 현상은 Mohr 파괴포락선식 $τ_{f} (σ_{n})$ 의 수학적 근사원리에 의해 설명될 수 있다. Fig. 9에 도시한 Mohr 파괴포락선 함수 $τ_{f} (σ_{n})$ 를 근사 수직응력값 ${σ_{n}}^{*}$ 을 중심으로 Taylor 다항식 전개하면 다음 식 (33)과 같다.

(3)

τ_{f} (σ_{n}) = τ_{f} ({σ_{n}}^{*}) \pm τ_{f}' ({σ_{n}}^{*}) ∆ σ_{n} + \frac{1}{2} τ_{f}'' ({σ_{n}}^{*}) {(∆ σ_{n})}^{2} \pm \dots

여기서 $τ_{f}'$ 와 $τ_{f}''$ 은 각각 $τ_{f}$ 의 $σ_{n}$ 에 대한 1계 및 2계 도함수를 의미하며 + 부호와 – 부호는 각각 Fig. 9(a)와 Fig. 9(b)의 상황에 대응된다. Fig. 9를 참조하면 식 (33)은 다시 다음 식 (34)로 표현될 수 있음을 알 수 있다.

(34)

τ_{f, e x a c t} = τ_{f, a p p r o x} \pm ∆ σ_{n} \tan ϕ_{i, a p p r o x} + \frac{1}{2} τ_{f}'' ({σ_{n}}^{*}) {(∆ σ_{n})}^{2} \pm \dots

한편, 식 (34)의 우변에서 둘째 항까지의 연산 결과가 $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ 을 의미한다는 것을 Fig. 9는 명확히 말해준다. 즉,

(35)

τ_{f, e x a c t} = τ_{f, a p p r o x_i m p} + \frac{1}{2} τ_{f}'' ({σ_{n}}^{*}) {(∆ σ_{n})}^{2} \pm \dots

식 (35)는 $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ 의 오차가 개략적으로 ${(∆ σ_{n})}^{2}$ 에 비례한다는 사실을 말해준다. 그러므로 $τ_{f, a p p r o x}$ 를 계산하는 과정에서 발생한 수직응력의 오차가 $∆ σ_{n}$ 임을 고려할 때 식 (31)로 계산되는 $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ 의 백분율 오차 차수가 $τ_{f, a p p r o x}$ 의 백분률 오차 차수보다 대략 2배 낮아진다는 것을 알 수 있다.

4. 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 정확성 및 활용성 고찰

2절과 3절에서 제시한 GHB 파괴기준식의 근사 Mohr 파괴포락선은 4가지로 구분할 수 있다. 즉, 식 (17)의 $h (ζ)$ 를 2차 Taylor 다항함수로 근사시키기 위해 사용되는 $ζ_{0}$ 를 고정값으로 택하는 경우와 GSI=100일 때 얻어지는 $ζ$ 의 정해 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 택하는 경우를 각각 식 (26)과 식 (31)에 적용하는 4가지 근사 Mohr 파괴포락선이 제시되었다. Fig. 6, Fig. 8, Fig. 10, Fig. 11에 도시한 근사 Mohr 파괴포락선의 백분율 오차 그래프를 비교하면 4가지 근사 Mohr 파괴포락선 중 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 적용한 근사 Mohr 파괴포락선식 (26)의 정확성이 가장 낮고 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용한 근사 파괴포락선식 (31)의 정확성이 가장 높은 것을 확인할 수 있다. 그러나 Fig. 5(a)에서 볼 수 있듯이 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 적용한 근사 파괴포락선식 (26) 역시 정해 파괴포락선에 매우 근사하므로 실용성 측면에서 요구되는 정확도를 충분히 갖추고 있는 것으로 판단된다. 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용한 근사 파괴포락선식 (26)과 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 적용한 근사 파괴포락선식 (31)의 정확성은 앞서 언급한 두 근사 Mohr 파괴포락선 사이에 위치하는 것으로 나타났다. 앞 문장에서 언급된 두 근사 파괴포락선의 정확성은 $σ_{n} / σ_{c i}$ 값의 위치와 GSI 값의 변화에 따라 우열이 국부적으로 서로 바뀌는 것으로 나타났다. 예를 들어 Fig. 12는 GSI=40일 때 4가지 근사 파괴포락선의 백분율 오차 그래프를 함께 도시한 것으로 $σ_{n} / σ_{c i}$ 가 약 0.22보다 작은 영역과 0.77보다 큰 영역에서는 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용한 근사 파괴포락선식 (26)의 백분율 오차가 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 적용한 근사 파괴포락선식 (31)의 경우보다 작음을 준다. 그러나 $0.2 < σ_{n} / σ_{c i} < 0.77$ 의 범위에서는 오차의 우열이 바뀌고 있음을 보여준다. 이러한 오차의 우열 범위는 $m_{i}$ 값이나 GSI 값의 설정에 따라 변화가 있는 것으로 나타났다.

Fig. 6, Fig. 8, Fig. 10, Fig. 11에 도시한 오차 백분율 그래프에서 아래로 뾰족한 스파이크 모양이 형성되는 지점은 근사 접선마찰각이 실제 접선마찰각과 거의 일치하는 지점을 의미한다. 이러한 지점의 근사 파괴전단강도는 정해 값과 거의 일치하므로 백분율 오차가 0에 가깝다. Fig. 6과 Fig. 10의 경우는 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 를 적용한 결과이므로 접선마찰각이 $30 °$ 가 되는 파괴포락선 지점 부근에서 오차 백분율 값이 가장 낮은 스파이크 모양이 나타나고 있다. 그러나 GSI=80과 GSI=100인 경우 $σ_{n} / σ_{c i}$ 의 값이 1 이하인 전체 영역에서 접선마찰각이 $30 °$ 보다 크기 때문에 스파이크 형태가 나타나지 않고 있다. Fig. 8과 Fig. 11의 그래프는 $ζ_{0}$ 값으로 식 (27)을 적용한 결과이므로 파괴포락선의 시작점 부근에서 백분율 오차가 급격히 줄어드는 특징을 보여준다. 이는 GSI=100일 때와 마찬가지로 GSI < 100 인 모든 GHB Mohr 파괴포락선에서도 시작점 부근에서는 접선마찰각의 크기가 $90 °$ 에 근접하기 때문이다.

암반의 파괴안전율을 계산하거나 파괴 예상면을 탐색하기 위한 목적으로 자주 이용되는 한계평형해석, 한계해석, 임계평면법 등에서는 다양한 최적화 수치해석기법들이 활용되며 이 과정에서 Mohr 파괴포락선식을 이용한 전단응력의 계산이 무수히 반복 수행된다. 그러므로 근사 GHB Mohr 파괴포락선의 실용성을 분석하기 위해서는 이 연구에서 제안한 4가지 근사 Mohr 파괴포락선들의 적용 시 소요되는 파괴전단강도 계산시간에 대한 검토가 필요하다. 이러한 목적을 위해 각 근사 Mohr 파괴포락선식을 이용하여 Fig. 5나 Fig. 7에 도시된 것과 같은 Mohr 파괴포락선 하나의 계산에 소요되는 시간을 비교하였다. GSI=60, $m_{i} = 20$ , D=0.0인 경우를 대상으로 하였고 계산된 Mohr 파괴포락선은 등간격의 101개 점으로 구성된다. 3.6GHz 클럭스피드 성능의 단일 CPU를 사용하는 개인용 컴퓨터가 계산에 이용되었다. 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 을 적용한 식 (26)을 이용하여 Mohr 파괴포락선을 계산할 때 소요되는 시간은 0.234초로 측정되었다. 반면에 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 을 적용한 식 (31)을 사용하는 경우, 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용하여 식 (26)을 사용하는 경우, 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용하여 식 (31)을 사용하는 경우에서는 Mohr 파괴포락선을 계산에 소요되는 시간이 각각 0.390초, 0.312초, 0.766초로 측정되었다. 이는 고정값 $ζ_{0} = 0.5$ 을 적용한 식 (26)의 경우 대비 약 1.7배, 1.3배, 3.3배의 계산시간을 의미한다. 그러므로 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 적용하는 식 (31)의 전단강도 예측 성능은 매우 뛰어 나지만 이 식을 암반 구조물 안정성 해석에 적용할 경우 계산시간이 과도하게 증가될 가능성이 있음을 예상할 수 있다. 반면에 $ζ_{0}$ 값으로 고정값 0.5나 식 (27)을 적용하는 근사 파괴포락선식 (26)은 계산시간 측면에서 상대적인 장점이 있음을 알 수 있다. 따라서 근사 GHB 파괴포락선식의 선택 과정에서는 전단강도 예측 정확도와 수치 계산시간 측면의 경제성이 동시에 고려되어야 할 것으로 판단된다.

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Fig. 12.

Percentage errors in shear strength from four different formulations of approximate GHB Mohr envelope for GSI=40, $m_{i} = 20$ and D=0.0

5. 결 론

현장 암반의 지질학적 특성을 반영하여 강도정수를 산정하는 GHB 파괴기준식의 활용이 최근 증가하는 추세이다. 그러나 GSI≠100인 경우 GHB 파괴기준식를 전단강도-수직응력 관계식 즉, Mohr 파괴포락선식으로 전환하는 것이 어려워 GHB 파괴기준식의 적용 범위 확대에 많은 제약을 받고 있다. 이 논문에서는 Lee and Pietruszczak (2017)이 제안한 근사 GHB 파괴포락선식의 재수식화 함께 이 근사 GHB Mohr 파괴포락선식의 정확성을 더욱 향상시킬 수 있는 새로운 수식화 절차를 제안하고 그 결과 얻어지는 근사 Mohr 파괴포락선의 정확성과 계산 효율성을 분석하였다. 이 연구를 통해 얻어진 결론은 다음과 같이 요약될 수 있다.

1) 이 연구에서는 Lee and Pietruszczak(2017)의 경우와 달리 수직응력( $σ_{n}$ )의 크기에 따라 Taylor 전개 중심값 $ζ_{0}$ 를 달리 설정하는 방법이 연구되었다. GSI=100인 경우에 정해로 얻어지는 $ζ - σ_{n}$ 관계식을 GSI <100 인 경우의 $ζ_{0}$ 값으로 이용하면 수직응력에 따라 변화하는 $ζ_{0}$ 값의 설정이 가능하며 그 결과 얻어지는 근사 GHB Mohr 파괴포락선식의 정확성은 기존 근사 Mohr 파괴포락선식 대비 크게 향상되는 것으로 나타났다.

2) GHB 파괴기준식에서 접선점착력은 접선마찰각의 함수로 표시할 수 있고 접선마찰각은 수직응력의 함수이다. 이 사실에 주목하여 GHB Mohr 파괴포락선의 접선방정식을 활용하여 근사 Mohr 파괴포락선식을 구현하는 방법이 제시되었다. 그 결과로 얻어진 근사 Mohr 파괴포락선의 백분율 오차 차수는 본래 근사 Mohr 파괴포락선식 대비 2배 이상 개선되는 것으로 나타났고, 그 이유가 수학적 근사원리 관점에서 규명되었다.

3) 근사 GHB Mohr 파괴포락선식으로 동일 조건에서 하나의 Mohr 파괴포락선 계산에 필요한 시간을 비교 평가하였다. 고정 값 $ζ_{0}$ =0.5을 사용하는 근사식 (26)의 경우와 대비하여, $ζ_{0}$ =0.5를 사용하는 근사식 (31), 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 사용하는 근사식 (26), 식 (27)을 $ζ_{0}$ 로 사용하는 근사식 (31)의 경우 각각 약 1.7배, 1.3배, 3.3배의 계산시간이 소요되는 것으로 나타났다.

4) 이 논문에서 제시된 4가지 형태의 근사 GHB Mohr 파괴포락선식은 모두 실용적 사용에 적합한 정확도를 보여주고 있는 것으로 확인되었다. 특히, 식 (27)을 $ζ_{0}$ 값으로 사용하는 근사 GHB 파괴포락선식 (31)의 경우 거의 정해에 근접하는 정확성을 보여주었다. 그러나 정확성이 높은 근사 GHB Mohr 파괴포락선식일수록 계산시간이 증가하는 경향이 있으므로 근사 파괴포락선 선택 시 정확성과 소요 계산시간이 동시에 고려될 필요가 있는 것으로 판단되었다.

Acknowledgements

이 논문은 정부(과학기술정보통신부)의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구임(No.2021R1F1A1048311).

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Tunnel and Underground SpaceISSN:1225-1275(Print) 2287-1748(Online)한국암반공학회

Preview

Improving the Accuracy of the Mohr Failure Envelope Approximating the Generalized Hoek-Brown Failure Criterion

ABSTRACT

MAIN

(1)

(2)

(3)

(4)

Fig. 1.

GHB failure criterion and its tangent line in (a) σ3-σ1 space and (b) in dimensionless stress space S3-S1

(5)

Fig. 2.

GHB failure envelope and its tangent line in (a) σ-τ space (Adapted from Lee and Pietruszczak, 2024) and (b) in dimensionless stress space S-T

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Fig. 3.

Shapes of the function h(ζ), . (17), for different GSIvalues

Fig. 4.

Second-order Taylor approximations of the function h(ζ) with expansion centers at (a) ζ0=sin(30°) and (b) ζ0=sin(60°)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Fig. 5.

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes for two different ζ0 values against numerically calculated exact envelopes : (a) ζ0=sin(30°)=0.5 and (b) ζ0=sin(60°)≈0.8660

Fig. 6.

Percentage errors in approximate shear strength τf,approx from Eq. (26) for ζ0=0.5

(27)

(28)

(29)

Fig. 7.

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes with numerically calculated exact envelopes; Eq. (27) is used for ζ0 in Eq. (26)

Fig. 8.

Percentage errors in approximate shear strength τf,approx from Eq. (26) with ζ0 from Eq. (27)

(30)

(31)

(32)

Fig. 9.

Tangent lines to the GHB Mohr envelope: (a) ϕi,approx<ϕi,exact and (b) ϕi,approx>ϕi,exact

Fig. 10.

Percentage errors in approximate shear strength τf,approx_imp from Eq. (31) for ζ0=0.5

Fig. 11.

Percentage errors in approximate shear strength τf,approx_imp from Eq. (31) with ζ0 from Eq. (27)

(3)

(34)

(35)

Fig. 12.

Percentage errors in shear strength from four different formulations of approximate GHB Mohr envelope for GSI=40, mi=20 and D=0.0

Acknowledgements

References

GHB failure criterion and its tangent line in (a) $σ_{3} - σ_{1}$ space and (b) in dimensionless stress space $S_{3} - S_{1}$

GHB failure envelope and its tangent line in (a) $σ - τ$ space (Adapted from Lee and Pietruszczak, 2024) and (b) in dimensionless stress space $S - T$

Shapes of the function $h (ζ)$ , . (17), for different GSIvalues

Second-order Taylor approximations of the function $h (ζ)$ with expansion centers at (a) $ζ_{0} = \sin (30 °)$ and (b) $ζ_{0} = \sin (60 °)$

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes for two different $ζ_{0}$ values against numerically calculated exact envelopes : (a) $ζ_{0} = \sin (30 °) = 0.5$ and (b) $ζ_{0} = \sin (60 °) \approx 0.8660$

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x}$ from Eq. (26) for $ζ_{0} = 0.5$

Comparison of approximate GHB Mohr envelopes with numerically calculated exact envelopes; Eq. (27) is used for $ζ_{0}$ in Eq. (26)

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x}$ from Eq. (26) with $ζ_{0}$ from Eq. (27)

Tangent lines to the GHB Mohr envelope: (a) $ϕ_{i, a p p r o x} < ϕ_{i, e x a c t}$ and (b) $ϕ_{i, a p p r o x} > ϕ_{i, e x a c t}$

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ from Eq. (31) for $ζ_{0}$ =0.5

Percentage errors in approximate shear strength $τ_{f, a p p r o x_i m p}$ from Eq. (31) with $ζ_{0}$ from Eq. (27)

Percentage errors in shear strength from four different formulations of approximate GHB Mohr envelope for GSI=40, $m_{i} = 20$ and D=0.0